Замкнутость компактных операторов.

[falazure123]

Пусть $K_m$ - компактные линейные непрерывные операторы на банаховом пространстве Х.
Если $K_m \to K$ по операторной норме, то $K$ - компактный оператор.

Нам сказали, что это доказывается в пару строк с помощью $\varepsilon$-сетей.
И надо пользоваться фактом, что множество предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограниченно(то есть существует конечная $\varepsilon$-сеть)

Рассмотрим какой-нибудь единичный шарик $B_R (0)$. Тогда $K_m (B_R (0))$ - предкомпактно (по определению компактного оператора). Значит у него есть конечная $\varepsilon$-сеть.

Видимо надо как-то показать, что эта $\varepsilon$-сеть будет $\varepsilon$-сетью (или $2 \varepsilon$-сетью?) для $K(B_R (0))$. А вот как это получить?
Воспользоваться условием, что $K_m \to K$ по операторной норме ? Что из этого можно получить тогда?

[mihaild]

Пусть даны ограниченное множество $A$ и $\varepsilon$, хотим построить $\varepsilon$-сеть для $K(A)$.
Выберите такое $m$ что $\|K_m - K\| < \varepsilon$, и множество $Y = \{y_1, \ldots, y_n\}$ - $\varepsilon$-сеть для $K_m(A)$.
Теперь возьмем $x \in A$ и посмотрим на $K(x)$. Что можно сказать о расстоянии от $K(x)$ до $Y$?

[falazure123]

ну вот пускай $A$ это шарик радиуса $R$.
Хочу построить сеть для $K(A)$ тем самым показать, что $K(A)$ вполне ограничено и значит относительно компактно.

из условия, что операторы сходятся по операторной норме следует, что (???)
$\forall \varepsilon >0 \exists N : \forall m>N выполняется ||K_m(y) - K(y)|| < \frac{\varepsilon}{2}$ это $\forall y \in A$

из условия, что $K_m$ компактны следует, что $K_m(A)$ относительно компактно, значит есть конечная $\frac{\varepsilon}{2}$-сеть. Обозначим её $E = \left\lbrace e_1, ..., e_n \right\rbrace$.

беру $y \in K(A)$
$y = Kx, x \in A $
$||y - e_j|| = ||Kx - e_j|| \leqslant ||Kx - K_m x || + ||K_m x - e_j|| \leqslant \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon $

Значит это же множество $E$ будет уже $\varepsilon$-сетью для $K(A)$

Вроде бы всё верно.
только я не совсем уверен вот в месте где стоит (???) . У нас сходимость по операторной норме. Норма оператора это супремум норм образов по множеству элементов единичной нормы. Разве можно писать так как я написал после (???) ?

[mihaild]

falazure123 в сообщении #1148630 писал(а):

Разве можно писать так как я написал после (???) ?

Это хорошее замечание. Так писать можно, но это нужно доказать - и тут как раз пригодится линейность.

[falazure123]

mihaild в сообщении #1148644 писал(а):

falazure123 в сообщении #1148630 писал(а):

Разве можно писать так как я написал после (???) ?

Это хорошее замечание. Так писать можно, но это нужно доказать - и тут как раз пригодится линейность.

знаем, что операторы сходятся по операторной норме. значит такая норма - это норма оператора $K_m - K$ и она стремится к нулю. норма оператора это супремум по элементам единичной нормы из пространства.
как дальше рассуждать - не понятно

[mihaild]

falazure123 в сообщении #1148854 писал(а):

разве это не есть просто определение предела?

Определение предела по операторной норме - это "операторная норма разности стремится к нулю". Вам нужно как-то связать операторную норму $\|K_m - K\|$ и векторную $\|(K_m - K)y\|$. Как это сделать - зависит от того, как именно вводилась операторная норма.

[falazure123]

$\sup \frac{||(K_m - K)u(x)||_2}{||u||_2}$ супремум по элементам отличным от нуля. Это есть норма оператора $||K_m - K||$

[mihaild]

Из этого можно сразу получить, что, если $\|K_m - K\| < \varepsilon_1$, то $\|(K_m - K)x\| < \varepsilon_1 \cdot \|x\|$. Теперь надо выбрать $\varepsilon_1$ так, чтобы в правой части второго неравенства стояло что-то, не превосходящее $\frac{\varepsilon}{2}$.