Здравствуйте
Я пытаюсь по-ближе познакомиться с интегралами по-траекториям. Пока что прочитал начальные главы L. S. Schulman "Techniques and applications of path integration", сейчас читаю Feynman, Hibbs, Styer "Quantum mechanics and path integrals".
В частности проблемы возникли с интегралом для одномерного гармоничного осциллятора. Отбрасывая константы и некорорые члены, Лагранжиан такой:

для интеграла по траекториям теперь нужно разбить путь на отдельные узлы и интегрировать каждый узел по всему пространству (а потом устремить кол-во узлов к бесконечности). Пусть мы уже разбили действие на классическое действие и "неклассическое", так что

описывает смещение системы от классической траектории в любой момент времени. В таком случае

, где

и

это начало и конец интересующего нас отрезка времени. В обеих книгах по-которым я учусь (Schulman, Feynman) действие расписывается так (путь разбит на

узлов):
![$
S[x]=\int^{t_b}_{t_a}{dt L}=\sum_{n=0}^N {{\varepsilon}\left( \left(\frac{x_{n+1}-x_n}{\varepsilon}\right)^2 -\omega^2 x_n^2\right)}
$ $
S[x]=\int^{t_b}_{t_a}{dt L}=\sum_{n=0}^N {{\varepsilon}\left( \left(\frac{x_{n+1}-x_n}{\varepsilon}\right)^2 -\omega^2 x_n^2\right)}
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/b/06b804e75e67663856abda527078057382.png)
где

это отрезок времени между узлами пути

.
Первый вопрос такой: Почему используется такое приближение? Если мы суммируем узлы, то надо использовать

, а если промежутки то

. Я пытался так делать, но ответ получается другим.
После этого Schulman, вводит систему координат которая позволяет диагонализиривать аргумент экспоненты и свести весь интеграл по путям к продукту интегралов complex Gaussian. Это я более-менее понимаю. Feynman делает это через трансформацию Фурье (также сделано в
https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation). Тоесть вводит:
Вопрос второй: А разве не правильнее отталкиваться от Descrete Fourier Transform? Ведь интеграл по-путям совсем не гладкий, и состоит из конечного количества узлов (пока что). Мне казалось логичнее ввести


Выглядит конечно громоздко, но зато всё получается симметрично, в пространстве у нас путь из конечного числа отрезков и узлов, равно как из в Фурье-пространстве у нас путь и тоже и конечного числа отрезков и узлов. Когда я пытаюсь сделать так то у меня вылезает член

и привести к правильному виду всё можно только заменой

. Это можно обьяснить тем что все важные пути, которые вносят вклад в kernel, гладкие и поэтому их трансформация Фурье падает при больших

(

). Но для меня это как-то странно.
Буду благодарен за любую помощь