Интегралы по траекториям по-подробнее (discretization)

[Cryo]

Здравствуйте

Я пытаюсь по-ближе познакомиться с интегралами по-траекториям. Пока что прочитал начальные главы L. S. Schulman "Techniques and applications of path integration", сейчас читаю Feynman, Hibbs, Styer "Quantum mechanics and path integrals".

В частности проблемы возникли с интегралом для одномерного гармоничного осциллятора. Отбрасывая константы и некорорые члены, Лагранжиан такой:

$ L=\dot{x}^2-\omega^2 x^2 $


для интеграла по траекториям теперь нужно разбить путь на отдельные узлы и интегрировать каждый узел по всему пространству (а потом устремить кол-во узлов к бесконечности). Пусть мы уже разбили действие на классическое действие и "неклассическое", так что $ x $ описывает смещение системы от классической траектории в любой момент времени. В таком случае $x(t_{a,b})\equiv 0$, где $t_a$ и $t_b$ это начало и конец интересующего нас отрезка времени. В обеих книгах по-которым я учусь (Schulman, Feynman) действие расписывается так (путь разбит на $N+1$ узлов):

$ S[x]=\int^{t_b}_{t_a}{dt L}=\sum_{n=0}^N {{\varepsilon}\left( \left(\frac{x_{n+1}-x_n}{\varepsilon}\right)^2 -\omega^2 x_n^2\right)} $

где $\varepsilon$ это отрезок времени между узлами пути $x_n=x(t_a+\varepsilon n)$.

Первый вопрос такой: Почему используется такое приближение? Если мы суммируем узлы, то надо использовать $\dot{x}\to\frac{x_{n+1}+x_{n-1}}{2\varepsilon}$, а если промежутки то $x\to\frac{x_{n+1}+x_{n}}{2}$. Я пытался так делать, но ответ получается другим.

После этого Schulman, вводит систему координат которая позволяет диагонализиривать аргумент экспоненты и свести весь интеграл по путям к продукту интегралов complex Gaussian. Это я более-менее понимаю. Feynman делает это через трансформацию Фурье (также сделано в https://en.wikipedia.org/wiki/Path_integral_formulation). Тоесть вводит:

$x(t)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_n \sin\frac{n\pi t}{t_b-t_a}}$

Вопрос второй: А разве не правильнее отталкиваться от Descrete Fourier Transform? Ведь интеграл по-путям совсем не гладкий, и состоит из конечного количества узлов (пока что). Мне казалось логичнее ввести

$x_n=\frac{2}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\xi_k \sin\left(\frac{2\pi nk}{N}\right)}$

$\xi_k=\sum_{n=0}^{N-1}{x_n \sin\left(\frac{2\pi nk}{N}\right)}$

Выглядит конечно громоздко, но зато всё получается симметрично, в пространстве у нас путь из конечного числа отрезков и узлов, равно как из в Фурье-пространстве у нас путь и тоже и конечного числа отрезков и узлов. Когда я пытаюсь сделать так то у меня вылезает член $|\xi_k|^2 (1-\cos\left(2\pi k/N\right))$ и привести к правильному виду всё можно только заменой $|\xi_k|^2 (1-\cos\left(2\pi k/N\right))\approx |\xi_k|^2 2\left(\pi k/N\right)^2$. Это можно обьяснить тем что все важные пути, которые вносят вклад в kernel, гладкие и поэтому их трансформация Фурье падает при больших $k$ ($\lim_{k \to N-1} \xi_k\to 0$). Но для меня это как-то странно.

Буду благодарен за любую помощь

[Munin]

В сторону: Фейнман-Хибс есть в переводе на русский.

[amon]

Возьмите лучше книжку
M. Chaichian and A. Demichev Path Integrals in Physics Volume I, Stochastic Processes and Quantum Mechanics.
Там на странице 155 Вы найдете ответ на Ваш первый вопрос. Советую также глянуть на страницу 183, где обсуждается вопрос о том, как "надо" проводить дискретизацию. Про преобразование Фурье (дискретное, как Вы и хотите) написано на стр. 94 (там, правда, про Винеровские интегралы, но что-то мне подсказывает, что Вы разберетесь). Удачи!

[Cryo]

amon в сообщении #1148445 писал(а):

Возьмите лучше книжку
M. Chaichian and A. Demichev Path Integrals in Physics Volume I, Stochastic Processes and Quantum Mechanics.
Там на странице 155 Вы найдете ответ на Ваш первый вопрос. Советую также глянуть на страницу 183, где обсуждается вопрос о том, как "надо" проводить дискретизацию. Про преобразование Фурье (дискретное, как Вы и хотите) написано на стр. 94 (там, правда, про Винеровские интегралы, но что-то мне подсказывает, что Вы разберетесь). Удачи!

Большое спасибо!

[Gickle]

Тоже от себя и в сторону: советую ещё обратить внимание на книгу Ж. Зинн-Жюстена "Континуальный интеграл в квантовой механике". В своё время периодически заглядывал в неё, когда что-то было непонятно на лекциях/в других книгах. Иногда помогало.