Ошибка в A125268 [OEIS]

[atlakatl]

Последовательность A124665 включает в себя числа, которые не формируют простые числа при добавлении одной из цифр $0, 1, 2, ..., 9$ в любом месте в них (в том числе в начале или в конце).
Так, третье из них - $62$ - образует числа $62, 162, 262, ..., 962, 602, 612, 622, ..., 692, 620, 621, 622, ..., 629$ - и каждое из них составное.
Понятно, что для чисел последовательности, оканчивающихся на $0, 2, 4, 5, 6, 8$ следует проверять только вставку цифр $1, 3, 7, 9$ в самый конец проверяемого числа. - Остальные формируемые числа будут явно составными.
I. J. Kennedy тоже озаботился этим обстоятельством и придумал последовательность A125268, кандидатами в которой могут выступать только числа, оканчивающиеся на $1, 3, 7, 9$
Проблема в том, что в приведённых первых 27-ми членах аж три лишние. Это $251763$ (формирует простое $2517631$), $826377$ (формирует простое $8263771$), $1446519$ (формирует простое $14465197$).
Сам я в такие математические круги не вхож, да и с английским не в ладах. Прошу более компетентных участников проверить мои выкладки - и при их правильности внести необходимые изменения в данную A125268.

[worm2]

Подтверждаю.
Можно было бы подумать, что последняя цифра должна оставаться неизменной (после неё ничего не вставляется), но в описании последовательности явно указано "(including at the beginning or end)", так что числа действительно лишние.

К A124665 тоже серьёзные вопросы. В определении явно не указано, что числа должны оканчиваться на чётное или 5. А в комментарии тут же утверждается, как доказанный факт, что должны. Ну и программа тоже только такие ищет. Хотя этот факт не то что не доказан, но и неверен.

P.S. Доступа к OEIS на запись не имею.

[ИСН]

Зарегистрируйтесь да поправьте. Для этого никаких академических или иных credentials не нужно.

[atlakatl]

ИСН
Да я б с удовольствием. Упёрся в

Цитата:

You do not have permission to create this user account, for the following reason:
The action you have requested is limited to users in the group: Administrators.

Проблему - понимаю - можно разрулить в личной переписке. Но мой английский испугает даже китайца.

[ИСН]

[atlakatl]

Извините, если это называется "подъёмом темы". Просто в продолжение поста возник вопрос.
Вероятность случайно выбранного числа от $1$ до $n$ оказаться простым примерно равна $1/\ln(n)$.
Т.е. вероятность, что число составное равна $(1-1/\ln(n))=(1-\lg(e)/\lg(n))$
Сплошным подсчётом получено, что A125268 включает в себя $972$ числа в пределах до $100 $ млн. При этом на простоту проверяются числа до 1 миллиарда.
При проверке каждого числа - из $100$ млн. - мы пробуем $10\ctod (8+2)=100$ вариантов. Ну и проверяется только $2/5$ чисел из $100$ млн. - оканчивающихся на $1, 3, 7, 9$.
Отсюда делаем грубую прикидку:
$2/5 \ctod (1-\lg(e)/\lg(n))^{100} \ctod 100000000=284432$ чисел должно быть в данной последовательности в пределах до $100$ млн. А эксперимент даёт только $972$. Вот тут я туплю. Моя формула, видимо неверна. А мне интересно, как поведёт себя A125268 в пределе - для очень больших чисел. Правильная формула разрешила бы мой вопрос.

[Cash]

atlakatl в сообщении #1148957 писал(а):

Вероятность случайно выбранного числа от $1$ до $n$ оказаться простым примерно равна $1/\ln(n)$

Это если ничего о числе помимо размера неизвестно. В вашем случае эта вероятность поболее будет. Ну и я бы поостерегся считать эти 100 событий независимыми.

[atlakatl]

Cash
Понял. Мы изначально отбрасываем числа, оканчивающиеся на $0, 2, 4, 5, 6, 8$. Т.е. вероятность простоты среди оставшихся чисел увеличивается в $5/2$. Изменяем формулу:
$2/5 \ctod (1-5/2 \ctod \lg(e)/\lg(n))^{100} \ctod 100000000=104$
Это более согласуется с экспериментом.
Как учитывать зависимость 100 проверок, я пока не знаю. Но можно подогнать под ответ формулу:
$2/5 \ctod (1-2,088 \ctod \lg(e)/\lg(n))^{100} \ctod 100000000=976$
Ну и переходим к пределу:
$\lim_{x \to \infty} 2/5 \ctod (1-0,907/(x+1))^{10 \ctod(x+2)} \ctod 10^{x}=\lim_{x \to \infty} (4,6027) 10^{-5} \ctod 10^{x}$
Числовой коэффициент при $10^{x}$ равен примерно $1/20000$. Это соответствует результатам экспериментов при $x=10, 11, 12$. Т.е. в пределе каждое 20000-е число будет входить в A125268.

[maxal]

atlakatl в сообщении #1148028 писал(а):

Прошу более компетентных участников проверить мои выкладки - и при их правильности внести необходимые изменения в данную A125268
.

Последовательность A125268 исправлена. Спасибо за бдительность!