Связь ВТФ с теоремой синусов

[ananova]

Имеем два подобных треугольника: $ABC, abc$ с углами: $\alpha, \beta, \gamma$.

Условия данной темы не новы, но, побродив по интернету, я не нашел путного ответа как доказывается уравнение:

$$a^3+b^3=c^3\left(\dfrac {\sin^3{\alpha}+\sin^3{\beta}} {\sin^3{\gamma}}\right) \eqno(1)$$

Уравнение для степени 2 справедливо только для прямоугольных треугольников, в силу справедливости Теоремы Пифагора

$$A^2+B^2=C^2\left(\dfrac {\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}} {\sin^2{\gamma}}\right) \eqno(2)$$

Если

$$\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}=\sin^2{\gamma} \Longrightarrow \sin{\gamma} = 1 \Longrightarrow \gamma=90^0 \eqno(3)$$

Поставим задачу для степени 2 таким образом, что может это выведет на решение задачи для степени 3. Нужно доказать, что, при $\gamma \not = 90^0$, невозможно существование угла $\gamma$ со следующими свойствами:

$$\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}=\sin^2{\gamma} , \gamma \not=90^0 \eqno(3.1)$$

Я полагаю, что задача может быть не сложная.

[gris]

Я не в теме, но мне кажется, что и (2), и (1) выполняется и для равносторонних треугольников. Да вообще для любых треугольников и любых значений показателя степени.Именно из теоремы синусов следует. В чём прикол?

[ananova]

gris в сообщении #1147840 писал(а):

Я не в теме, но мне кажется, что и (2), и (1) выполняется и для равносторонних треугольников. Да вообще для любых треугольников и любых значений показателя степени.Именно из теоремы синусов следует. В чём прикол?

Да, Вы правы, (1) и (2) выполняется для любых треугольников.
При

$$\left(\dfrac {\sin^3{\alpha}+\sin^3{\beta}} {\sin^3{\gamma}}\right)=1 $$

мы имеем уравнение ВТФ. Следовательно, указанное равенство не выполняется:

$$\sin^3{\alpha}+\sin^3{\beta}= \sin^3{\gamma}$$

Впрочем, как известно, и для любой степени больше 2 не выполняется:

$$\sin^n{\alpha}+\sin^n{\beta}= \sin^n{\gamma}$$

Интересно было бы, в связи с этим, посмотреть на возможное доказательство для степени $n=2$ о невозможности

$$\left(\dfrac {\sin^2{\alpha}+\sin^2{\beta}} {\sin^2{\gamma}}\right)=1 $$

, при условии, что $\gamma \not=90^0$

[gris]

Нет треугольников с рациональными длинами, которые удовлетворяют ВТФ, но есть достаточно много с иррациональными. И синусы углов для этих треугольников будут удовлетворять Вашему равенству. Да ещё подобие это путает.

[ananova]

Для меня было важным в этой теме не доказать ВТФ, а показать её связь и теоремой синусов.

[gris]

Это понятно, но связь, мне кажется, бесперспективная. Хотя и достаточно прозрачная: ведь синусы углов треугольника пропорциональны сторонам, а уравнение ВТФ однородно. У углов, правда, есть свойство, что их сумма равна некоторому числу, но и ВТФ тоже легко масштабируется, если его рассматривать в рациональных числах. Кроме этого, есть разные тригонометрические формулы. Но помогут ли они? Кроме того, при переходе к синусам перестаёт работать требование их рациональности. Но это лишь мои, любительские, соображения.

[ananova]

Линейно будет сложно получить противоречие. Если выйти на метод спуска, то шансы будут совсем другими.
С другой стороны, сидеть на одной задаче довольно муторно, а тут - шаг в сторону. Я, например, совсем не понимаю, как тут Случай 1 и Случай 2 выделить:

ananova в сообщении #1147866 писал(а):

$$\sin^3{\alpha}+\sin^3{\beta}= \sin^3{\gamma}$$

[gris]

Ну а что можно доказать? Что для некоторых видов треугольников равенство ВТФ для синусов не выполняется. Так ведь придётся доказывать, что треугольники с рациональными длинами сторон входят в это множество. Или описать множество треугольников, для синусов углов которых выполняется равенство. И доказать, что в этом множестве нет "рациональных" треугольников.

Вот из теоремы косинусов следует, что синусы углов "рациональных" треугольников могут быть или рациональны, или быть квадратными корнями из рациональных чисел. Интересно, верно ли обратное? Что при таких синусах существует "рациональный" (а значит и "целочисленный" треугольник?

[vasili]

1. Пусть $A,B,C$ стороны треугольника, где $C > A > B$ и основание треугольника - C.

2. Пусть h - высота треугольника опущенная на сторону C,
тогда:
$\sin^3 A = \frac { h^3}{B^3}$,

$\sin^3 B = \frac{h^3}{A^3}$.

3. $h_1$ - высота треугольника опущенная на сторону A, тогда:

$\sin^3 C =\frac{h_1^3}{B^3}$.

4. Площадь треугольника S с одной стороны выражается $S =\frac{hC}{2}$, с другой стороны

$S =\frac{h_1A}{2}$, из этого находим $h_1$.

$h_1 =\frac{hC}{A}$,

$\sin^3 C =\frac {h^3C^3}{A^3B^3}$

5. Тогда

$\frac{sin^3A + sin ^3B}{sin^3C} = \frac {A^3 + B^3}{C^3}$

6. Умножая правую часть равенства $A^3 + B^3 = C^3$ на

$\frac{sin^3A + sin ^3B}{sin^3C} = \frac {A^3 + B^3}{C^3}$

получим тождество.

[ananova]

Да тождество! Спасибо за подробное подтверждение. Но мы имеем дополнительную информацию:

1) сумма кубов синусов в треугольнике имеет важное свойство - сумма аргументов функции равна $\pi$

Кстати, теорема синусов связана с окружностью, которая описывает наш треугольник. Треугольник, который имеет хотя бы одну сторону с иррациональным значением.

Может как-то можно связать иррациональность суммы аргументов равную $\pi$ с иррациональностью суммы сторон треугольника ВТФ? Если стороны треугольника наследуют иррациональные свойства соответствующих углов, то это доказывает ВТФ.

[Antoshka]

ananova в сообщении #1147776 писал(а):

Я полагаю, что задача может быть не сложная.

Добавлю, что угол напротив стороны $c$ в треугольника с натуральными сторонами равен минимум $78$ градусов, если пользоваться вашими обозначениями $a^3+b^3=c^3$