Помогите разобраться с преобразованием функции

[art.kulichenko]

Коллеги, прошу помощи в нахождении корней функции:
$f(x)= 2x_{1}^3+4x_{1}x_{2}^2-10x_{1}x_{2}+x_{2}^2$
Головная задача в примере найти безусловный экстремум.
Соответственно, в точке локального минимума градиент функции будет равен нулю, соответственно взял частную производную по 2 переменным и решал систему уравнений с двумя уравнениями и двумя неизвестными. Перепробовал группировки и всевозможные преобразования, но не смог преобразовать уравнения в надлежащий вид. Корни даны в ответе задачника, (0,0) и (1,1), но на самом деле их там 4 и необходимо их найти самостоятельно.
Дальше я знаю что нужно проверять на достаточность через анализ главных миноров матрицы Гессе, проблема только корнях.

[ИСН]

Ну выпишите это уравнение 4-й степени, да вынесите известные корни - останется 2-я.

[art.kulichenko]

так причем тут уравнение 4-й степени?
берет частную производную получаем систему уравнений градиента
$\nabla f(x) = \begin{cases} 3x_{1}^2+2x_{2}^2+5x_{2}=0; \\ 4x_{1}x_{2}+5x_{1}+x_{2}=0 \end{cases}$

Таким образом, уравнение 2 степени.
что не делал не нашел корни.
нужна метода господа

на одном из пути решения дошел до следующего выражения

$x_{2}((4x_{2}-5)^2[2x_{2}-5]-3x_{2})=0$

нахожу первый корень при x_2 = 0 - точка (0,0)

нужно найти еще 3 реально существующих корня

[Otta]

art.kulichenko в сообщении #1147819 писал(а):

получаем систему уравнений

Вы где в знаке ошиблись, градиент считая или при цитировании задания? Там минус был.

[ИСН]

art.kulichenko в сообщении #1147819 писал(а):

так причем тут уравнение 4-й степени?

art.kulichenko в сообщении #1147819 писал(а):

на одном из пути решения дошел до следующего выражения

$x_{2}((4x_{2}-5)^2[2x_{2}-5]-3x_{2})=0$

Действительно, при чём?

[art.kulichenko]

Otta

Да, прошу прощения, ошибка в знаке при написании градиента.
знак "-" при коэффициенте 5 у Х1 и Х2
головная функция написана верно

-- 30.08.2016, 19:10 --

$\nabla f(x) = \begin{cases} 3x_{1}^2+2x_{2}^2-5x_{2}=0; \\ 4x_{1}x_{2}-5x_{1}+x_{2}=0 \end{cases}$

здесь записана верная система

$x_{2}((4x_{2}-5)^2[2x_{2}-5]-3x_{2})=0$

ИСН, тогда мы пишем условие, или х2 = 0 или его сомножитель.
я хочу знать каким образом можно упростить следующие выражения, привести к виду

$(x_{1}-a)(x_{2}-b)...(x_{i}-z)=0$
из которого будут видны решения
либо прошу помочь подсказать альтернативное решение.
а Вашу рекомендацию я не понял...

[svv]

art.kulichenko в сообщении #1147883 писал(а):

$x_{2}((4x_{2}-5)^2[2x_{2}-5]-3x_{2})=0$

Здесь ошибка. У Вашей системы есть очевидное решение $(1,1)$. Если это уравнение выведено из неё, у него должен быть корень $x_2=1$. Подставьте — нуль не получится.

Подставляйте $x_1=1, x_2=1$ последовательно во все уравнения, полученные в процессе вывода. Где не будет удовлетворяться — там и ошибка.

[alcoholist]

art.kulichenko
коллега ИСН имел ввиду, что два уравнения второй степени - это одно уравнение четвертой
если известны два нуля многочлена четвертой степени, то и оставшиеся два нетрудно найти