Каноническое преобразование, переводящее гамильтониан в нуль

[maked0n]

Доброго времени суток. Есть задача:
Задача. Найти каноническое преобразование $\tilde{q} = \tilde{q}(q, p, t), \tilde{p} = \tilde{p}(q, p, t)$, переводящее гамильтониан $H = (\frac{p_1^2}{2} + q_1^2)\sint + (\frac{p_2^2}{2} + q_2^2)\cost$ в нуль. Определить движение системы.
Я пошел следующим путем: через уравнение Гамильтона-Якоби мы можем найти производящую фунцию $S$. По определению, это такая производящая функция, что после канонического преобразования новый гамильтониан нулевой. Вот я ее нашел:
$S = \int{\sqrt{2(\alpha_2 - q_2^2)}dq_2} + \int{\sqrt{2(\alpha_1 - q_1^2)}dq_1} + \alpha_1\sin{t} + \alpha_2\cos{t}$
Теперь я думал воспользоваться соотношениями $p = \frac{\partial{S}}{\partial{q}}$ и $\tilde{p} = -\frac{\partial{S}}{\partial{\tilde{q}}}$. Но проблема в том, что в производящей функции никак не фигурируют новые координаты $\tilde{q}$ и $\tilde{p}$. А стало быть, эти соотношения ничего хорошего нам не дадут. Посоветуйте пожалуйста, как поступить дальше. Возможно, я изначально пошел по неверному пути?

[amon]

maked0n в сообщении #1147188 писал(а):

Возможно, я изначально пошел по неверному пути?

Путь правильный. Поскольку вопрос в разделе физики, то открываем механику Ландау-Лифшица и читаем про это внимательно, пытаясь понять, что там импульс, а что - координата. Полезно для этого почитать про разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Подсказка: если $H=0$, какие будут уравнения движения?

[maked0n]

Так как гамильтониан - разность квадратичной и нулевой форм лагранжиана, то равенство нулю первого для меня означает равенство последних. Но я не могу понять, как это связано с задачей. А ЛЛ я читал, но все равно не знаю как применить теорию к задаче
А соотношения, которыми я решил воспользоваться в конце, тут вообще мне помогут?

[amon]

amon в сообщении #1147201 писал(а):

какие будут уравнения движения?

[maked0n]

Цитата:

какие будут уравнения движения?

$\dot{\mathbf{q}} = \frac{\partial{H}}{\partial{\mathbf{p}}} = 0; \dot{\mathbf{p}} = -\frac{\partial{H}}{\partial{\mathbf{q}}} = 0;$
Отсюда $\mathbf{q} = \mathbf{c_1}, \mathbf{p} = \mathbf{c_2}$.

[amon]

А теперь внимательно-внимательно читаем параграф 47. Особенно напрягаемся после формулы 47.2. Да, это

maked0n в сообщении #1147188 писал(а):

$S = \int{\sqrt{2(\alpha_2 - q_2^2)}dq_2} + \int{\sqrt{2(\alpha_1 - q_1^2)}dq_1} + \alpha_1\sin{t} + \alpha_2\cos{t}$

не производящая функция, а фигня какая-то. Никаких интегралов в ответе быть не должно, да и синус с косинусом времени как-то непонятно откуда взялись. Прочитайте-ка еще и 48-й параграф.

[sithif]

maked0n в сообщении #1147188 писал(а):

Задача. Найти каноническое преобразование $\tilde{q} = \tilde{q}(q, p, t), \tilde{p} = \tilde{p}(q, p, t)$, переводящее гамильтониан $H = (\frac{p_1^2}{2} + q_1^2)\sint + (\frac{p_2^2}{2} + q_2^2)\cost$ в нуль. Определить движение системы.

Вас просят найти каноническое преобразование, а не производящую функцию, которая, конечно, генерирует преобразование.
Можете начать с простого случая: $H = \frac{1}{2} p^2 + \frac{1}{2} q^2 $
1. Найдите решение для этого гамильтониана с начальными условиями: $q(0) = Q, \quad p(0) = P$
2. Как думаете, $(Q,P)$ можно рассматривать как канонические координаты?
3. Отображение: $(q(Q,P;t),p(Q,P;t))$ -- каноническое преобразование ?
4. Сделайте это преобразование, какие уравнения получатся для $(Q',P')$ и какой будет гамильтониан?

Дальше можно найти и производящую функцию, если Вам она нужна, попробуйте найти первого типа: $F(q,Q)$
1. Выразите $p$ и $P$ через $q$ и $Q$ из решения
2. Дальше из определения, $p(q,Q) = + \frac{\partial F}{\partial q}$ и $P(q,Q) = - \frac{\partial F}{\partial q}$, найдите $F(q,P)$. Интегрируйте, суммируйте без удвоения одинаковых членов.
3. У Вас должно получиться: $F(q,Q) = \frac{1}{2} q^2 \cot (t)-q Q \csc (t)+\frac{1}{2} Q^2 \cot (t)$
4. Проверьте, что новый гамильтониан равен нулю.