Четыре мухи

[ishhan]

Уважаемые Господа!
Существует курьёзная задача про три мухи, которые одновременно взлетают со стола с разными скоростями, и вопрос- когда же они окажутся в одной плоскости)))
Предлагается задача с четырьмя мухами, которые взлетают вертикально вверх с горизонтальной плоскости с разными интервалами во взлёте$t_1<t_2<t_3<t_4$ и разными скоростями $v_1<v_2<v_3<v_4$, и вопрос - когда же они окажутся в одной плоскости.
Задачка для школьников непростая, хотя на первый взгляд всё ясно.
Очевидно, что четвёртая муха, взлетевшая последней, рано или поздно пересечёт плоскость в которой находятся три первые мухи.
Для простоты можно считать что все 4 мухи находятся в вершинах квадрата.
Пока не пробовал решать, но хотелось бы так задать условия так, что бы всё было в целых числах, включая ответ.

[gris]

Это несложно сделать. Я имею в виду — подобрать условия. Пусть общая плоскость будет горизонтальной. То есть 4 мухи пролетят одинаковое расстояние. Расстояние должно быть целым и иметь 4 делителя. Ну дальше ясно.

[warlock66613]

Если общая плоскость будет горизонтальной, то это будет хорошо видно из условий задачи, и она станет совсем простой задачей для устного решения.

[ishhan]

gris в сообщении #1146410 писал(а):

Пусть общая плоскость будет горизонтальной.

Спасибо gris
за подсказку.
Действительно, это хороший вариант.
Тогда можно усложнить задачу и заставить парочку мух двигаться неравномерно- с ускорением или по гармоническому закону.

[gris]

Ну тогда уж лучше задать 4 начальные точки и 4 векторные функции движения каждой мухи. Наверное, надо будет составить какой-нибудь определитель и приравнять его к нулю В общем, решать систему уравнений.

[ishhan]

warlock66613
Надо порешать, у меня пока нет уверенности, что всё будет в целых числах.

-- Ср авг 24, 2016 23:34:09 --

gris в сообщении #1146416 писал(а):

Ну тогда уж лучше задать 4 начальные точки и 4 векторные функции движения каждой мухи.

Это слишком усложнит задачу, пусть будет квадрат или равносторонний треугольник.
Наверное равносторонний треугольник лучше, в центре которого и будет четвёртая муха.
Тогда на целые решения шансов мало(((

[gris]

Вот Вам скорости: $1,3,4,6$ и стартовые времена: $0,8,9,10$. Стартуем из вершин правильного треугольника со стороной $7\sqrt 5$ и его центра (4-я муха).
Конечно, правильно будет найти все моменты пребывания в одной плоскости, но в данном случае это сделать несложно.

Кстати, даже с постоянными скоростями задача приобретает интересное звучание. Можно, например, показать, что в последней конфигурации существует единственное решение при любых заданных скоростях и задержках (при выполнении неравенства). А в других конфигурациях может и не существовать решения или существовать несколько

[ishhan]

gris в сообщении #1146420 писал(а):

Вот Вам скорости: $1,3,4,6$ и стартовые времена: $0,8,9,10$. Стартуем из вершин правильного треугольника со стороной $7\sqrt 5$ и его центра (4-я муха).

Супер класс, но это наверное не для всех школьников по силам.
Надеюсь, что Вы посчитали это при помощи карандаша и бумаги и без компа.
А t в момент пересечения плоскости тоже целое число?

[gris]

Вы знаете, я даже карандаш и бумагу не использовал. Разумеется, и расстояние, и время будут целыми.
Но я повторюсь: для школьников по силам не эта конкретная задача, которая и не стоит их внимания, а её обобщения. Там уже можно порезвиться и подумать. Например, про существование и единственность решения, если четвёртая муха стартует из внутренности треугольника, образованного точками старта трёх первых мух. Тоже несложно, но уже поинтереснее.

[Mihaylo]

В начальный момент времени мухи в одной плоскости

[ishhan]

Mihaylo в сообщении #1146446 писал(а):

В начальный момент времени мухи в одной плоскости

Тогда старт из вершин тетраэдра. Направление векторов для скоростей и моменты старта нужно прикинуть.

[arseniiv]

ishhan в сообщении #1146470 писал(а):

Тогда старт из вершин тетраэдра.

Всё можно исправить гораздо проще: пускай мухи не ждут на столе, а пролетают через стол через данные времена.

-- Чт авг 25, 2016 11:54:20 --

Для привередливых можно просверлить в поверхности стола дырочки или подвести к декоративной дырчатой стене беседки.

[ishhan]

gris в сообщении #1146420 писал(а):

Вот Вам скорости: $1,3,4,6$ и стартовые времена: $0,8,9,10$. Стартуем из вершин правильного треугольника со стороной $7\sqrt 5$ и его центра (4-я муха)

Ваше решение проверил при помощи карандаша бумаги в клетку не понял правда причём тут сторона треугольника $7\sqrt 5$.
Если они взлетают вертикально, то наблюдая их тени на стене от коллинеарного пучка света, задача сводится к тому что тени от 4-х мух должны расположиться на одной линии параллельно столу.
Может быть задачу сделать пространственной получится если одна из мух будет поймана, а остальные окажутся на одной линии)))

[gris]

Сторона не причём. Даже сам треугольник не причём. Я думаю, что в отношении точек старта годятся аффинные соображения (для качественного анализа). Вы всё шутите, а мне задача очень понравилась. Конечно, в общем виде с помощью определителя она решаема, хотя и тоскливо. Но в случае равномерного вертикального движения и школьникам доступен и, возможно, будет интересен качественный анализ количества решений.

[ishhan]

gris в сообщении #1146566 писал(а):

Вы всё шутите

Если только чуть-чуть.
Просто что-то вспомнилось про конфигурацию Дезарга.
Но это уже не для школьников.