Поляризация и спин

[Slav-27]

Киселёв. Квантовая механика. § 7.2.2 писал(а):

Векторными называются частицы, поляризация и состояние которых характеризуются вектором $\mathbf s$. Поэтому волновая функция векторной частицы—вектор: $\langle \mathbf r, \mathbf s_\lambda|\Psi\rangle=\mathbf\Psi_\lambda(\mathbf r)$ или $\langle \mathbf r, \mathbf s|\Psi\rangle=\mathbf s\cdot\mathbf \Psi(\mathbf r)$.
Вектор поляризации при вращениях преобразуется так же, как координата, так что $\hat R|\mathbf r, \mathbf s\rangle=|\mathbf r^\varphi, \mathbf s^\varphi\rangle=|\mathscr R \mathbf r, \mathscr R \mathbf s \rangle$.

Не понимаю. Векторные частицы, насколько я понимаю, имеют спин $1$ (например фотоны). Поляризация электромагнитной волны определяется вектором поляризации. Значит ли это всё, что ему соответствует какая-то наблюдаемая, компоненты которой измеримы совместно друг с другом и с $\mathbf r$? (При этом их значения вроде как могут меняться непрерывно -- раз вектор $\mathbf s$ поворачивают ортогональной $3\times 3$ матрицею $\mathscr R$.) Я знаю, что поляризацию определяет собственный момент импульса частицы (т. е. спин), но его компоненты обычно совместно не измеримы, и тогда (если $\mathbf s$ значит спин) нет смысла говорить о состоянии $|\mathbf r, \mathbf s\rangle$. В этом случае в качестве набора коммутирующих наблюдаемых можно взять $\mathbf r$ и, например, $s_z$ ($z$-компоненту спина), и рассматривать состояния $|\mathbf r\, s_z\rangle$, и волновая функция будет $\langle \mathbf r\, s_z|\Psi\rangle=\Psi(\mathbf r, s_z)$. $s_z$ (как известно) принимает дискретные значения, поэтому эту функцию можно записывать в виде вектора $(\Psi_1(\mathbf r),\Psi_2(\mathbf r),...)$, где индексы нумеруют различные возможные значения $s_z$. Это получился вектор, и в цитате тоже вектор, но я не вижу, чтобы это было одно и тоже. Чего я не понимаю?

[Sicker]

Оператор поляризации коммутирует с оператором координаты.

[Slav-27]

Sicker
А оператор поляризации -- это что, и как он связан с оператором спина?

Пробую сообразить. Вот пусть фотон летит вдоль оси $z$. Возьмём в 2-мерном пространстве состояний его поляризации базис $|R\rangle=|1, +1\rangle$, $|L\rangle=|1, -1\rangle$ (первое число -- спин, второе -- значение проекции спина на ось $z$): первое состояние соответствует круговой поляризации против часовой стрелки, второе по. Рассмотрим другой базис $|x\rangle=-\frac1{\sqrt 2}(|R\rangle-|L\rangle)$, $|y\rangle=\frac i{\sqrt 2}(|R\rangle+|L\rangle)$. Тогда оператор поляризации -- он что ли имеет компоненты $|x\rangle\langle x|$ и $|y\rangle\langle y|$?

Всё равно не понимаю цитату из 1-го поста. У этого оператора же только 2 собственных состояния.

[arseniiv]

Я в теме не разбираюсь совершенно, но помню, что безмассовость фотона здесь добавляет запрет, а если взять массивный бозон, его поляризация может быть направлена куда угодно. Надеюсь, эти слова доведут до нормальных, просто жалко смотреть, что никто не пишет.

[amon]

Мимо пробегал, поэтому коротко. Проще говорить не о линейной, а о круговой поляризации. В этом случае оператором будет спиральность, сиречь проекция спина на направление движения. Из нее можно соорудить и линейную поляризацию.

[Metford]

В учебнике Сивухина (5 том, первая часть) очень подробно рассказывается о состояниях поляризации фотона и их связи с тем, что в электродинамике применительно к волнам говорят (то, о чём сказал amon). Начать, наверное, лучше всего с прочтения этого параграфа. Ещё, если память не изменяет, у Дирака в "Принципах квантовой механики" буквально в самом начале подобный вопрос обсуждается.

[Slav-27]

amon
Да это-то (кажется) понятно. Непонятна определённая цитата из определённого Киселёва, которая в 1-м посте. $|\mathbf r, \mathbf s\rangle$ -- это-то вот что такое? И что такое $\langle\mathbf r, \mathbf s|\Psi\rangle=\mathbf s\cdot\mathbf\Psi(\mathbf r)$?

[amon]

Есть 20', поэтому начну, а другие, надеюсь, подхватят. Итак,

Slav-27 в сообщении #1144711 писал(а):

$|\mathbf r, \mathbf s\rangle$ -- это-то вот что такое?

Мне кажется, что в $\langle\mathbf r, \mathbf s|\Psi\rangle=\mathbf s\cdot\mathbf\Psi(\mathbf r)$ вкралась опечатка. Должно быть $\langle\mathbf r| \mathbf s\Psi\rangle= s\cdot\mathbf\Psi(\mathbf r)$, либо под $\mathbf s$ понимается спинор, что, IMHO, тоже бред какой-то. Состояния $|\mathbf r, \mathbf s\rangle$ это, по всей видимости, состояние с заданным спином и координатой. Такое состояние в нерелятивистских науках случается, но состояния с заданной поляризацией и координатой, как Вы правильно заметили, не бывает, поскольку они одновременно не измеримы. Проще всего это увидеть из вида той самой спиральности, которая есть $(\mathbf p\mathbf s)$, а $\mathbf p$ с $\mathbf r$ не коммутируют. Где-то есть сайт, где Киселев со товарищи исправляет ошибки и опечатки в своем учебнике. Гляньте там - может это место уже исправили.

[Slav-27]

amon в сообщении #1144746 писал(а):

Состояния $|\mathbf r, \mathbf s\rangle$ это, по всей видимости, состояние с заданным спином и координатой.

Так компоненты спина же тоже совместно друг с другом не измеримы (хотя измеримы совместно с координатой).

amon в сообщении #1144746 писал(а):

Должно быть $\langle\mathbf r| \mathbf s\Psi\rangle= s\cdot\mathbf\Psi(\mathbf r)$

Гм...
У меня теперь ощущение, что должно быть что-то такое:

Рассматриваем состояния $|\mathbf r, S_z\rangle$, где $S_z$ -- проекция спина на ось $z$. Волновая функция будет $\langle\mathbf r, S_z|\Psi\rangle=\Psi(\mathbf r, S_z)=\left(\begin{array}{c}\Psi_1(\mathbf r)\\\Psi_2(\mathbf r) \\ \dots \\ \end{array}\right)=(\Psi_\lambda(\mathbf r))$, где индекс $\lambda$ нумерует различные возможные значения $S_z$.

Допустим, что поляризацию частиц характеризует какой-то векторный оператор $\mathbf s$. Предположим также, что он действует только на спиновые переменные, а координатные не трогает. Тогда $\langle \mathbf r,S_z|\mathbf s \Psi\rangle=\left(\begin{array}{c} s_x \Psi(\mathbf r, S_z)\\s_y\Psi(\mathbf r, S_z) \\ s_z\Psi(\mathbf r, S_z) \\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c} (s_x)_{\lambda\mu} \Psi_\mu(\mathbf r)\\(s_y)_{\lambda\mu}\Psi_\mu(\mathbf r) \\ (s_z)_{\lambda\mu}\Psi_\mu(\mathbf r) \\ \end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c} s_x \cdot \mathbf\Psi(\mathbf r)\\s_y \cdot \mathbf\Psi(\mathbf r) \\ s_z \cdot \mathbf\Psi(\mathbf r) \\ \end{array}\right)=\mathbf s \cdot \mathbf\Psi(\mathbf r)$.

Запишем закон преобразования, в который мы верим: $\langle \mathbf r^{\mathbf\varphi},(\mathbf S^{\mathbf\varphi})_z|\mathbf s^{\mathbf\varphi} \Psi^{\mathbf\varphi}\rangle=\langle \mathbf r,S_z|\mathbf s \Psi\rangle$.
Допустим, что $\mathbf s$ при вращении преобразуется как вектор: $\mathbf s^{\mathbf\varphi}=\mathscr R \mathbf s$. Положим также $\langle \mathbf r^{\mathbf\varphi},(\mathbf S^{\mathbf\varphi})_z|\mathbf s^{\mathbf\varphi} \Psi^{\mathbf\varphi}\rangle=\Psi(\mathbf r^\varphi, (\mathbf S^\varphi)_z)=(\Psi^\varphi_\lambda(\mathbf r^\varphi))$, где индекс $\lambda$ нумерует возможные значения проекции уже повёрнутого спина на $z$.
То есть $\mathbf s^\varphi \cdot \mathbf\Psi^\varphi(\mathbf r^\varphi)=\mathbf s\cdot\mathbf\Psi(\mathbf r)$.

Дальше $\mathbf s^\varphi = \mathscr R \mathbf s$, $\mathbf r^\varphi = \mathscr R \mathbf r$, так что получается $(\mathscr R \mathbf s) \cdot \mathbf\Psi^\varphi(\mathscr R\mathbf r)=\mathbf s\cdot\mathbf\Psi(\mathbf r)$, откуда $\mathbf s \cdot (\mathscr R^T \mathbf\Psi^\varphi(\mathscr R\mathbf r))=\mathbf s\cdot\mathbf\Psi(\mathbf r)$, и заменяя переменные $\mathbf r \rightarrow \mathscr R^T \mathbf r$ и теряя по дороге $\mathbf s$, получаем вожделенное $\mathbf \Psi^\varphi(\mathbf r)=\mathscr R \mathbf\Psi(\mathscr R^T \mathbf r)$.

Так что ли?

amon в сообщении #1144746 писал(а):

Где-то есть сайт, где Киселев со товарищи исправляет ошибки и опечатки в своем учебнике. Гляньте там - может это место уже исправили.

Нет, нету там. Если народ уверен, что тут опечатка, а не просто я тупой такой -- так я скину автору на этот топик ссылку, пусть посмотрит.

[warlock66613]

Slav-27 в сообщении #1144957 писал(а):

Если народ уверен, что тут опечатка, а не просто я тупой такой -- так я скину автору на этот топик ссылку, пусть посмотрит.

Пождите до следующей недели пожалуйста.

[Slav-27]

(warlock66613)

Подожду, конечно. Мне не то чтобы свербит, но я промедитировал достаточно, чтобы стало жалко бросать.

[Slav-27]

Кстати, по-моему, с этой матрицей $\mathscr R$ там напутано. 2 раза: во-первых у генератора вращения не тот знак взят, соответственно должно быть $\hat R=e^{-\frac i\hbar \hat {\mathbf L} \cdot \mathbf{\varphi}}$, а не $e^{\frac i\hbar \hat {\mathbf L} \cdot \mathbf{\varphi}}$. Во-вторых матрицу $\mathscr R$ берут обратную по отношению к матрице поворота в классике, а потом опять везде берут обратную. Первый раз обратную брать не надо, т. е. д. б. $\mathscr R=e^{-i \hat {\mathbf s} \cdot \mathbf{\varphi}}$.

[Slav-27]

Дела, в общем, такие... Конструкция, её же в предыдущем длинном посте я написал, несмысленный бред являет собою. Хотя бы потому, что математика так работать не будет.

(Оффтоп)

Не будет работать $(\mathscr R \mathbf s) \cdot \mathbf \Psi = \mathbf s \cdot (\mathscr R \mathbf \Psi)$ (где знак $\cdot$ в смысле тоёй конструкцыи понимается).
Не будет (?) работать $\langle \mathbf r^{\mathbf\varphi},(\mathbf S^{\mathbf\varphi})_z|\mathbf s^{\mathbf\varphi} \Psi^{\mathbf\varphi}\rangle=\langle \mathbf r,S_z|\mathbf s \Psi\rangle$.
А равно и $\mathbf s$ отваливаться не будет...

А думать про эту кракозёбру следует, видимо, так:

А возьмём какое-нибудь какое-никакое трёхмерное векторное поле. Которое при вращениях преобразуется как векторное поле. И посмотрим на это поле, и спросим его: а не сгодишься ли ты, поле, в качестве волновой функции? А почему бы и нет, подумает поле... А как же тогда выглядит оператор, который преобразует тебя при вращениях? А выглядит он так, как будто у тебя есть спин. Да не какой-то там спин, а $1$. Значит, описывать ты будешь частицу спина $1$. Ну и ладненько...

Вот таков, я думаю, сакральный смысл означенного параграфа. Впрочем, что такое $|\mathbf r,\mathbf s\rangle$ и что такое $\langle \mathbf r,\mathbf s| \Psi \rangle=\mathbf s\cdot\Psi(\mathbf r)=\mathbf s_\lambda \mathbf\Psi_\lambda$, это я так и не понял.

Интересно, а вот возьмём $|x\rangle \langle x|$, $|y\rangle \langle y|$ и $|z\rangle \langle z|$ -- проекторы на базисные векторы пространства внутренних состояний, соответствующие направлениям координатных осей. Они ж коммутируют, потому что (я в это верю) базис ортонормированный. И с оператором координаты они коммутируют, потому что координатных переменных не трогают. Значит, если их измерить, то получится вектор, и его можно измерить вместе с координатой. Что это такое? или я опять чего напутал?