Делимость многочлена

[Charlz_Klug]

Задача:
Доказать, что при любых целых $m$, $n$, $p$ многочлен $x^{3m} + x^{3n+1} + x^{3p+2}$ делится нацело на $x^2 + x + 1$

Одна из тех задач, где я, хотя бы примерно, не понимаю в какую сторону копать. Дайте пожалуйста направление.

[Sonic86]

Уже было несколько раз, в этой задаче есть прикол, но если подсказывать, то будет неинтересно.
Выберите конкретные значения показателей и попробуйте доказать в конкретном случае, авось что-то заметите.

[Charlz_Klug]

Sonic86 в сообщении #1141990 писал(а):

Выберите конкретные значения показателей и попробуйте доказать в конкретном случае, авось что-то заметите.

В случае $m=n=p$ выражение принимает вид $x^{3m} + x^{3m+1} + x^{3m+2} = x^{3m}(1 + x + x^2)$. Доказано для данного случая.

Пусть из тройки $m, n, p$ наименьшим является число $p$. Тогда можно записать что $m = p + \alpha$ и $n = p + \beta$. Получаем:
$x^{3m} + x^{3n+1} + x^{3p+2} = x^{3p}(x^{3 \alpha} + x^{3 \beta + 1} + x^2)$.
Возьмём $\alpha = 0$. Тогда $x^{3 \alpha} + x^{3 \beta + 1} + x^2 = 1 + x^{3 \beta + 1} + x^2$
Подставим $\beta = 0 : 1+x + x^2 \text{---}$ делится на $x^2 + x +1$.
Подставим $\beta = 1 : 1+x^2 + x^4 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) \text{---}$ делится на $x^2 + x +1$.
Теперь допустив что $1 + x^2 + x^{3 \beta + 1}$ делится на $x^2 + x + 1$, докажем по математической индукции, что если в качестве $\beta$ возьмём $\beta + 1$, то $1 + x^2 + x^{3 (\beta + 1) + 1}$ тоже делится на $x^2 + x + 1$.
$1 + x^2 + x^{3 (\beta + 1) + 1} = 1 + x^2 + x^{3\beta + 1} x^{3} = 1 + x^2 + x^{3 \beta + 1} + x^{3\beta + 1} x^{3} - x^{3 \beta + 1} = 1 + x^2 + x^{3 \beta + 1} + x^{3\beta + 1} (x^{3} - 1) = 1 + x^2 + x^{3 \beta + 1} + x^{3\beta + 1} (x-1)(x^2 + x + 1)$
здесь и $1 + x^2 + x^{3 \beta + 1}$, и $(x-1)(x^2 + x + 1)$ делится на $x^2 + x + 1$, а значит что $1 + x^2 + x^{3 \beta + 1}$ делится на $x^2 + x + 1$ при любых значениях $\beta$. Аналогично, зафиксировав $\beta$ можно доказать что при любых значениях $\alpha$ выражение $x^{3 \alpha} + x^{3 \beta + 1} + x^2$ делится на $x^2 + x + 1$. Корректно ли приведено доказательство для этого случая?

[iifat]

Похоже на то.

[adfg]

Charlz_Klug, можно решить проще если владеете комплексными числами. Возьмите корни правого многочлена, подставьте их в левое, тогда по формуле Муавра для аргументов $2\pi/3$ и $4\pi/3$ сразу ноль получите.

[Lia]

Сообщение adfg отделено в Карантин.

Upd

Возвращено.

[tolstopuz]

Еще можно домножить оба многочлена на $x-1$ и попробовать сгруппировать слагаемые в левой части.

[TOTAL]

Charlz_Klug в сообщении #1141981 писал(а):

Задача:
Доказать, что при любых целых $m$, $n$, $p$ многочлен $x^{3m} + x^{3n+1} + x^{3p+2}$ делится нацело на $x^2 + x + 1$

Одна из тех задач, где я, хотя бы примерно, не понимаю в какую сторону копать. Дайте пожалуйста направление.

Просто найдите для каждого из слагаемых остаток от деления на $x^2 + x + 1$.

[Shadow]

Думаю, самая простая индукция
$(1+x+x^2) \mid (x^a+x^b+x^c) \Rightarrow (1+x+x^2) \mid (x^{a+3}+x^b+x^c)$

[Charlz_Klug]

TOTAL в сообщении #1142870 писал(а):

Просто найдите для каждого из слагаемых остаток от деления на $x^2 + x + 1$.

Это гениально! Я бы не догадался.

-- 20.08.2016, 15:19 --

Shadow в сообщении #1142873 писал(а):

Думаю, самая простая индукция
$(1+x+x^2) \mid (x^a+x^b+x^c) \Rightarrow (1+x+x^2) \mid (x^{a+3}+x^b+x^c)$

А как можно проводить индукцию от нескольких переменных?

[Sonic86]

Charlz_Klug в сообщении #1145457 писал(а):

Shadow в сообщении #1142873 писал(а):

Думаю, самая простая индукция
$(1+x+x^2) \mid (x^a+x^b+x^c) \Rightarrow (1+x+x^2) \mid (x^{a+3}+x^b+x^c)$

А как можно проводить индукцию от нескольких переменных?

Сначала по одной переменной, потом по второй, потом по третьей.
Например. (можно иначе - упорядочить любым способом и вести индукцию по порядку)