Ещё о размерностях физических величин

[svv]

Он, оказывается, ввёл термин «адрон» (помимо всего прочего).

[arseniiv]

Munin в сообщении #1102661 писал(а):

Тогда пишите методическую статью в УФН!

(И тоже совсем без сарказма... почти...)

Так у меня как минимум каких-то особенных аргументов нет. Притом, кому это надо? В КТП размерности уже особо не помогают и даже мешают.

[Munin]

Для начала, есть такая штука, которая появилась на рубеже 19-20 веков, которая, мне кажется, расширяет понятие размерности. Но её не слишком ставят рядом. Это ранг тензора. Ведь точно так же, как нельзя путать граммы с литрами, нельзя путать и скаляры с векторами. Например, масса - скаляр, а энергия-импульс - 4-вектор.

В каком-то расширенном смысле, здесь добавляются "псевдо"-тензоры (меняющие знак), тензорные плотности. Спиноры. Потом - представления групп внутренних симметрий. Можно считать, что заряды групп внутренних симметрий - это новые "базовые размерности" теоретической физики.

При том, что от "старых" размерностей теоретическая физика почти избавилась (осталась одна базовая размерность, а в планковских единицах - и нуль), "новые размерности", напротив, разрослись. Современная физика может быть названа парадигмой симметрий: они важны и в субатомной физике, и в физике вещества. И анализ симметрий давно заменил место размерностного анализа 18-19 века.

Например: очевидно, что при плавлении кристалла мы переходим от нарушенной группы вращений в пространстве (действующей глобально) к ненарушенной. Отсюда следует, что в кристалле многие величины выражались тензорами ("восприимчивости"), а в жидкости и газе они могут быть только скалярами. Например, закон Паскаля: напряжение в жидкости сводится к одному скалярному давлению. (К некоторым тензорам высшего ранга это не относится. Жидкость может вращать плоскость поляризации света.)

-- 28.02.2016 13:23:45 --

(Заметим, что для тензоров, например, верхний индекс Минковского добавляет размерность $[r],$ нижний - $[r^{-1}].$ Безындексная величина не имеет пространственно-временной размерности.)

-- 28.02.2016 13:32:52 --

Чтобы вернуть в разговор amon:

amon в сообщении #1102343 писал(а):

Munin в сообщении #1102335 писал(а):

amon в сообщении #1102285 писал(а):

Есть основные единицы и производные. Основные - это берем эталон и прикладываем, производные - эталона нет, но есть уравнение ("закон физики", называется определяющим уравнением).

Фишка в том, что могут существовать и эталон, и уравнение.

Угу, но в этом случае в уравнении, как правило,стоит коэффициент, зависящий от выбора эталона.

Нет, я говорю о случаях, когда эталон может быть создан с бо́льшей точностью, чем получается через уравнение из погрешностей других величин, используемых для вычисления.

Кажется, именно по этой причине до сих пор не отказались от эталона килограмма, например. И очень долго держался эталон канделы. Примеры есть и в других областях науки и техники: например, гравитационный параметр планет $G_N m$ может быть измерен с большей точностью, чем вычислен из массы и ньютоновской постоянной по отдельности.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1102741 писал(а):

При том, что от "старых" размерностей теоретическая физика почти избавилась (осталась одна базовая размерность, а в планковских единицах - и нуль), "новые размерности", напротив, разрослись.

Вот-вот. Это я и имел в виду в самом начале в

arseniiv в сообщении #1102081 писал(а):

Систему размерностей величин можно понимать как <…> отражение (в традиционной свободной коммутативной группе размерностей — не очень впечатляющее) ограничений на операции с величинами, которые исходят из математической теории, стоящей за физической

И когда работаешь с этой теорией непосредственно, зачем её проецировать в какие-то размерности?

[Munin]

Зачем в "какие-то" - очевидно: чтобы иметь правила работы с ней, и не совершать ошибок.

Примерно за тем же, зачем нужны типы в языках программирования.

Скажем, не понравилась вам система типов языка BASIC. Это же не повод от типов вообще отказываться? Нет, это скорее повод придумать C++ или Haskell.

[amon]

Munin в сообщении #1102741 писал(а):

Чтобы вернуть в разговор amon:

Сами напросились ;) Раз пошли общие разговоры, то ... Если посмотреть на процедуру измерения с высоты комариного полета, то выяснится, что все, что делает экспериментатор - отображает некую вещь из реального мира на двух-трехмерное-конечномерное многообразие (сетчатку глаза). Таким образом, мы, человеки, можем измерить только те объекты, на множестве которых можно ввести что-то вроде структуры сепарабельного топологического пространства, и ни кто не гарантирует, что мать-природа только такими объектами ограничена. А раз так - значит может существовать нечто, про что мы в принципе ничего узнать не можем (по крайней мере, в рамках современного научного подхода).

[arseniiv]

Munin в сообщении #1102855 писал(а):

Зачем в "какие-то" - очевидно: чтобы иметь правила работы с ней, и не совершать ошибок.

Так тут уже нас математическая теория спасает ведь. Она не даст нам сделать $k_i + x^i$ компонентами какого-то геометрического объекта ровно так же, как не предоставит никакого значения $1/0$.

Munin в сообщении #1102855 писал(а):

Скажем, не понравилась вам система типов языка BASIC. Это же не повод от типов вообще отказываться? Нет, это скорее повод придумать C++ или Haskell.

Ага. Правда, C++ можно было бы не упоминать. Но ведь наша теория уже имеет всю эту информацию о типах, просто не совсем явно (вон, индексы компонент тензора на виду). Впрочем, где-то такие расширенные размерности уже упоминались, только не помню где и кем, иначе бы сразу добавил в начало темы.

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1102883 писал(а):

Так тут уже нас математическая теория спасает ведь. Она не даст нам сделать $k_i + x^i$ компонентами какого-то геометрического объекта

Давно ли вы тут писали про свободные суммы и "геометрическую алгебру", складывающую  бульдогов с носорогами  скаляры с векторами?

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1102883 писал(а):

Правда, C++ можно было бы не упоминать. :D

Ну я так... в порядке возрастания сложности...

arseniiv в сообщении #1102883 писал(а):

Но ведь наша теория уже имеет всю эту информацию о типах, просто не совсем явно

Точно так же и о размерностях вся информация была и раньше. И незачем вводить всякие СИ. Но ввели же, "совсем явно". То есть, методический смысл в этом присутствует.

amon
Я настолько поражён, что могу только молчать в восхищении.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1102893 писал(а):

Давно ли вы тут писали про свободные суммы и "геометрическую алгебру", складывающую бульдогов с носорогами скаляры с векторами?

Ну, про геометрическую я в порядке пуризма предпочитаю не писать, а вот алгебра Клиффорда (или много какая ещё, раз тут только сложение упомянуто) при сложении $k$- и $l$-векторов даст штуку с $k=l\mathbin? \binom nk : \binom nk+\binom nl$ компонентами, так что ничего похожего на $k_i + x^i$ не выйдет. Вообще, $C\ell(V, Q)\cong T(V)/\langle v\otimes v-Qv : v\in V \rangle$ (фактор-алгебра, получаемая из тензорной отождествлением тензорных квадратов векторов $v\otimes v$ со значениями квадратичной формы на них $Qv$), так что ничего особо нового (в смысле сложения разных вещей) по сравнению с тензорами (в «полной» тензорной алгебре $T(V)$, разумеется, точно так же можно складывать тензоры разных рангов) ждать не приходится.

-- Вс фев 28, 2016 21:04:15 --

Munin в сообщении #1102893 писал(а):

Точно так же и о размерностях вся информация была и раньше. И незачем вводить всякие СИ. Но ввели же, "совсем явно". То есть, методический смысл в этом присутствует.

Рандом их знает, зачем ввели. Можно было ввести просто набор равенств одних произведений единиц измерения другим, так иногда группы задают: берут свободную и накладывают ограничения. (Правда, в нашем случае обычных размерностей группа так и останется свободной, но «поменьше».)

[Munin]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1102215 писал(а):

При этом всё равно получаются очень примерные топоры

Вспомнил, откуда это:

Топор - единица измерения степени накуренности в помещении ("хоть топор вешай").

[Droog_Andrey]

svv в сообщении #1102583 писал(а):

В СИ нет сил смотреть на «фундаментальные константы» вроде $\mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\;\text{Гн/м}$ или волновое сопротивление вакуума $Z_0=120\pi\;\text{Ом}$.

Вроде скоро избавимся от них: https://en.wikipedia.org/wiki/Proposed_ ... base_units

[amon]

Droog_Andrey в сообщении #1145313 писал(а):

Вроде скоро избавимся от них

Для этого надо радикально (раз в 300) поменять либо вольт, либо ампер, либо и то, и другое. А на это, боюсь, ни кто не решится.

[warlock66613]

Что-то там по ссылке написано скорее обратное: что сии величины потеряют статус точных величин и станут экспериментально определяемыми. То есть СИ ещё больше дистанцируется от СГС, впрочем катастрофы я в этом не вижу.

[AnatolyBa]

Вопрос привычки. Помню был период, когда атмосферное давление по радио объявляли в гекто-паскалях. Так народ не выдержал и вернулись к миллиметрам ртутного столба (хотя кого вообще интересовало давление).
С практической метрологической точки зрения может быть раньше было удобно определять ампер через силу между двумя проводами с током (отсюда "круглое" значение для $\mu_0$), а сейчас удобнее через что-то другое.

[warlock66613]

AnatolyBa в сообщении #1145393 писал(а):

сейчас удобнее через что-то другое

Через заряд электрона. Заряд электрона предлагается считать точной контантой — отсюда определяется кулон, а ампер по сути становится производной единицей от кулона и секунды.