нормальные подгруппы, действия групп.

[Duelist]

Как доказать, что подгруппа $H$ группы $G$ нормальна титтк она тривиально действует на $G/H$?

Рассмотрим гомоморфизм из $G$ в группу перестановок $G/H.$ $f: G \rightarrow S(G/H)$, $x \rightarrow T_x$, где $T_x(yH)=xyH$. Ядром будет пересечение стабилизаторов всех точек: $\ker f $ $= \bigcap\limits_{x \in G} xHx^{-1}$. Ядро будет нормальной подгруппой, кроме того это наибольшая нормальная подгруппа $G$, содержащаяся в $H$. Поэтому если подгруппа $K$ подгруппы $H$ нормальна, то она будет подгруппой ядра и, соответственно, будет тривиально действовать на $G/H$. Если $K$ тривиально действует на $G/H$, то она будет подгруппой ядра - т.е. подгруппой $ \bigcap\limits_{x \in G} xHx^{-1}$, отсюда следует, что $\forall x \in G$ $xKx^{-1} \subset \bigcap\limits_{x \in G} xHx^{-1}$. Но из этого ещё не следует, что $K \triangleright G$.

[Duelist]

Так, понял, что то, что я писал выше, ошибочно начиная с предложения: "Поэтому если подгруппа $K$ подгруппы $H$...". Доказывал не то, что надо. Понял, как надо.

Если $H \triangleright G$, то $H= \ker f = \bigcap\limits_{x \in G} xHx^{-1}$, потому что $\ker f$ - наибольшая нормальная подгруппа $H$. Отсюда следует, что $H$ тривиально действует на $G/H$. Если $H$ тривиально действует на $G/H$, то $H$ подгруппа $\ker f$, следовательно $H= \ker f$ и $H \triangleright G$.