Пересечение множеств

[maxmatem]

Добрый день.

Я хочу задать некоторый методический вопрос по решению задачи.(Я не стал выкладывать данный вопрос в раздел Вопросы преподавания, лишь из соображений, что это частный вопрос и возможно методически он не будет интересен большому кругу лиц.)

Итак, упражнение:

Заданы два множества $A=\left\lbrace 3n-1; n \in \mathbb{N} \right\rbrace$ и $B= \left\lbrace 5n+2; n \in \mathbb{N} \right\rbrace $

Найти $A \bigcap B=?$

Итак , я начал выписывать данные множества при различных значения $n$ , нашел общие элементы, и пришел к выводу, что искомое множество есть $C=\left\lbrace 15n+2; n \in \mathbb{N} \right\rbrace$

Но меня не устраивает такой подход к решению этой задачи.

Я думаю, что существует какой то способ с помощью которого можно было бы более менее аналитически получать это множество.

Я пытался рассуждать так, Пусть $x_{0} \in A \bigcap B$ значит $x_{0 } \in A$ и $x_{0} \in B$

В силу последнего имеем.

$(1)$ Раз $x_{0 } \in A$ значит $\exists n_{0} \in \mathbb{N}$ такой что $x_{0}=3n_{0}-1$

$(2)$ Раз $x_{0 } \in B$ значит $\exists n_{1} \in \mathbb{N}$ такой что $x_{0}=5n_{1}+2$

При чем понятно, что $n_{0} \ne n_{1}$

Приравняем (1) и (2)

Тогда $3n_{0}-1=5n_{1}+2 \Leftrightarrow 3n_{0}-5n_{1}=3$

Это обычное линейное диафантово уравнение, которое легко решается.

$n_{0}=6-5k, k \in \mathbb{N}$
$n_{1}=3-3k, k \in \mathbb{N}$

Вот здесь я застрял.......

Может быть я не тем путем пошел. И стоит просто находить в явном виде по несколько элементов каждого множества, составлять последовательность общих, и подгонять их под общуу формулу?

Но мне кажется что мой путь (или его аналог должен иметь место)

[ewert]

maxmatem в сообщении #1143577 писал(а):

$n_{0}=6-5k, k \in \mathbb{N}$
$n_{1}=3-3k, k \in \mathbb{N}$

Вот здесь я застрял.......

Логически проще всего -- с самого начала разложить $\frac53$ в цепную дробь, отбросить самую нижнюю дробь и результат снова свернуть.

[Mikhail_K]

maxmatem в сообщении #1143577 писал(а):

Итак , я начал выписывать данные множества при различных значения $n$ , нашел общие элементы, и пришел к выводу, что искомое множество есть $C=\left\lbrace 15n+2; n \in \mathbb{N} \right\rbrace$.

Но меня не устраивает такой подход к решению этой задачи...

Может быть я не тем путем пошел. И стоит просто находить в явном виде по несколько элементов каждого множества, составлять последовательность общих, и подгонять их под общуу формулу?

Но мне кажется что мой путь (или его аналог должен иметь место)

Вас правильно не устраивает первоначальный подход. Потому что "подгонять что-то под общую формулу" - это вообще не решение математической задачи. Правильный способ - именно Ваш второй. Не ясно, почему Вы его называете "менее аналитическим".

maxmatem в сообщении #1143577 писал(а):

$n_{0}=6-5k, k \in \mathbb{N}$
$n_{1}=3-3k, k \in \mathbb{N}$

Вот здесь я застрял.......

И зря, осталось одно очевидное действие. Вы начали с предположения, что $x_0\in A\cap B$. Пора вернуться к этому $x_0$ и выяснить, какой вид он обязательно имеет. (Ну, строго говоря после этого надо бы проверить, все ли $x_0$, имеющие такой вид, лежат в $A\cap B$. Но если аккуратно строить рассуждение, то даже это не обязательно.)

maxmatem в сообщении #1143577 писал(а):

При чем понятно, что $n_{0} \ne n_{1}$

Эта строка лишняя. Не то чтобы она неверна, но не нужно это для решения.

-- 12.08.2016, 11:20 --

Впрочем нет, вот здесь у Вас ошибка:

maxmatem в сообщении #1143577 писал(а):

Это обычное линейное диафантово уравнение, которое легко решается.

$n_{0}=6-5k, k \in \mathbb{N}$
$n_{1}=3-3k, k \in \mathbb{N}$

У Вас ведь $n_0$ и $n_1$ должны быть натуральные. А какие они получаются здесь?

[maxmatem]

Mikhail_K

я беру например $x_0=3n_0 -1 $ и подставляю туда $n_0=6-5k$

Тогда $x_0=17-15k$

И?

-- Пт авг 12, 2016 12:24:19 --

да согласен но уравнение диафантово я кажись верно решил только в целых числах....

[Mikhail_K]

maxmatem в сообщении #1143583 писал(а):

Тогда $x_0=17-15k$
И?
да согласен но уравнение диафантово я кажись верно решил только в целых числах....

Если бы вместо $\mathbb{N}$ в условии задачи стояло $\mathbb{Z}$, ответ $\{17-5k\,|\,k\in\mathbb{Z}\}$ совпадал бы с Вашим первоначальным $C=\left\lbrace 15n+2\,|\, n \in \mathbb{Z} \right\rbrace$. Да?

Исправляйте ошибку.

[maxmatem]

Mikhail_K
Я немного запутался.

Ошибка у меня при решении уравнения $3n_0 -5n_1=3$. ?

Я правильно понял что мне его надо решить в натуральных числах?

Кстати а где можно почитать про решение лин диаф в натуральных числах?

[ewert]

maxmatem в сообщении #1143586 писал(а):

Я правильно понял что мне его надо решить в натуральных числах?

Не обязательно. Можно и в целых. При этом можно не заморачиваться и вообще не пытаться запоминать никаких правил насчёт знаков: как только модули $n_0$ и $m_0$ будут найдены -- методом научного тыка мгновенно выяснится, с какими знаками их надо подставлять.

[Mikhail_K]

maxmatem в сообщении #1143586 писал(а):

Я правильно понял что мне его надо решить в натуральных числах?

Да. Причём Вы уже решили его в целых числах: $n_{0}=6-5k$, $n_{1}=3-3k$, $k\in\mathbb{Z}$. Общее решение в натуральных числах будет иметь такой же вид (потому что, естественно, будет одновременно являться и решением в целых числах), но вместо $k\in\mathbb{Z}$ будет некоторое условие на $k$. Вам осталось выяснить, при каких целых $k$ оба числа $n_0$ и $n_1$ будут натуральными (т.е. положительными). Ваш первоначальный ответ $k\in\mathbb{N}$ был неверным.

Скажите, Вы точно понимаете вот этот момент:

Mikhail_K в сообщении #1143585 писал(а):

Если бы вместо $\mathbb{N}$ в условии задачи стояло $\mathbb{Z}$, ответ $\{17-5k\,|\,k\in\mathbb{Z}\}$ совпадал бы с Вашим первоначальным $C=\left\lbrace 15n+2\,|\, n \in \mathbb{Z} \right\rbrace$. Да?

[ewert]

maxmatem в сообщении #1143586 писал(а):

а где можно почитать про решение лин диаф в натуральных числах?

Проще всего -- вбить в гугл "диофантовы уравнения" и заглянуть в высветившуюся Вику.

[maxmatem]

Mikhail_K

Цитата:

Скажите, Вы точно понимаете вот этот момент:

если честно то пока нет

Я вот что понял,

Решением уравнения $3n_0 -5n_1=3$
есть $n_0=6-5k$ и $3-3k$ где $k \in \mathbb{Z}$

мне надо чтобы $n_0,n_1 \in \mathbb{N}$

Значит надо решить систему

$6-5k>0$ и $3-3k>0$

то есть $k \in (-\infty;1)$

[Mikhail_K]

maxmatem в сообщении #1143590 писал(а):

если честно то пока нет

Ну, выпишите оба множества и убедитесь, что они совпадают. А потом докажите это.
Я это к тому, что даже когда Вы решите правильно, у Вас может получиться не тот ответ, который получился путём подбора. Но не тот он будет только по форме записи, а на самом деле он будет тот.

maxmatem в сообщении #1143590 писал(а):

то есть $k \in (-\infty;1)$

То есть $k=0,-1,-2,\dots$. Да?
Теперь запишите искомое решение Вашего диофантового уравнения в натуральных числах. Потом подставьте его в выражение для $x_0$ и получите ответ на Вашу задачу.

[maxmatem]

Тогда в натуральных числах, имеем следующее решение

$n_0=5n+1, n \in \mathbb{N}$
$n_1=3n, n \in \mathbb{N}$

Тогда $ x_0=3n_0 -1$и подставляю туда $n_0=5n+1, n \in \mathbb{N}$ Значит $x_0=15n+2$

и $ x_0=5n_1 +2$ и подставляю туда $n_1=3n, n \in \mathbb{N}$Значит $x_0=15n+2$

Всем спасибо

Мне понравился такой способ

[ewert]

Mikhail_K в сообщении #1143588 писал(а):

Причём Вы уже решили его в целых числах: $n_{0}=6-5k$, $n_{1}=3-3k$, $k\in\mathbb{Z}$

Это -- не общее решение. Общее -- когда $k$ разные. Соответственно:

Mikhail_K в сообщении #1143588 писал(а):

Вам осталось выяснить, при каких целых $k$ оба числа $n_0$ и $n_1$ будут натуральными (т.е. положительными).

-- не надо оба. Каждый из них описывает пересечение независимо от другого, поэтому о другом можно просто забыть.

maxmatem в сообщении #1143590 писал(а):

Решением уравнения $3n_0 -5n_1=3$
есть $n_0=6-5k$ и $3-3k$ где $k \in \mathbb{Z}$

Есть, но это не очень удобно. Лучше с самого начала ставить перед $k$ плюсики -- они ж всё равно пока что любые целые.

[Mikhail_K]

ewert в сообщении #1143598 писал(а):

Это -- не общее решение. Общее -- когда $k$ разные.

Вы неправы. $k$ должны быть одинаковые, как здесь. Напомню, что речь идёт о диофантовом уравнении

maxmatem в сообщении #1143590 писал(а):

$3n_0 -5n_1=3$.

-- 12.08.2016, 12:27 --

maxmatem в сообщении #1143594 писал(а):

Тогда в натуральных числах, имеем следующее решение

Объясните, как Вы получили это решение. Надеюсь, что не подбором.

[maxmatem]

Цитата:

Объясните, как Вы получили это решение. Надеюсь, что не подбором

Я сделал так , я подставлял различные $k$, понял что это арифметическая прогрессия и по формуле общего члена записал.

А как еще можно?