Товарищи, помогите теория вероятностей

[holop1]

Не могу ход действий придумать!
Магазин торгует телевизорами двух марок А и В, пользующихся одинаковым спросом населения. За день торговли из имеющихся 7 телевизоров марки А и 9 телевизоров марки В было продано два телевизора. На следующий день магазин получил 3 телевизора марки А и 1 телевизор марки В. За второй день торговли продали три телевизора.
1. Определить вероятность того, что, по крайней мере, один из проданных во второй день телевизоров - марки А.
2. Проданные во второй день - телевизоры марки А. Телевизоры каких марок вероятнее всего были проданы в первый день торговли?

[Brukvalub]

В первом п. используйте ф-лу полной вероятности, в п.2 - ф-лу Байеса.

[holop1]

Хорошо, но не совсем понятно как именно их использовать!

[PAV]

Должен честно сказать, что условие задачи глупое (привет Архипову). Где Вы учитесь, если не секрет? Преподаватель молодой, наверное?

Если подходить к ситуации с точки зрения здравого смысла, то фразу "телевизоры пользуются одинаковым спросом" следует понимать так: на витрине стоит один образец телевизора А и один образец В (при условии, что они есть на складе), покупатель с равной вероятностью выбирает одну из моделей. И вероятность выбора не зависит от количества телевизоров данной модели на складе. При этом поскольку при любом раскладе на второй день в наличии в магазине есть по три телевизора каждой модели, то результаты торговли второго дня определяются схемой Бернулли и не зависят от первого дня.

Но вероятнее всего, Ваш преподаватель имел в виду другую модель, совершенно нереальную, при которой если у нас в начале есть 7 телевизоров марки А и 9 - марки В, то вероятность того, что покупатель выберет А, равна $\frac{7}{16}$, а вероятность В - $\frac{9}{16}$. Но зато так формулы можно применить, а также все те многочисленные цифры в задаче.

Если использовать эту модель, то для решения пункта 1 Вы должны:

1. Рассмотреть все возможные способы продаж в первый день (их будет 3) и найти их вероятности (они в сумме должны давать 1). Это будут гипотезы, которые фигурируют в формуле полной вероятности.

2. При условии каждой из этих гипотез Вы знаете, сколько телевизоров было в магазине во второй день. Нужно найти соответствующие условные вероятности события, о котором спрашивают. Подскажу, что удобнее искать вероятность не этого события, а противоположного.


Если еще есть вопросы, то напишите подробно ход решения, который понятен, и где возникает затруднение. А если готовы рискнуть, то можете попробовать решить задачу по схеме Бернулли и объяснить преподавателю, что условие задачи следует по-хорошему понимать именно так, как я написал в начале.

[holop1]

Полностью согласен.
Это просто для заочников и дистанционников задачи
Вот что получилось для начала:
1) Пусть событие А состоит в том, что проданный телевизор - марки А, соответственно, событие В - марки В. Таким образом, находим, что вероятность того, что первый проданный телевизор был марки А составляет:
Р(А1) = 7/16 = 0,4375
Соответственно: Р(В1) = 9/16 = 0,5625.
После продажи первого телевизора остается 15 телевизоров, из которых 6 марки А (если в первом случае был продан марки А) или 7 (если не был). Классическое определение вероятности дает нам:
Р(А2 / А1) = 6/15 = 0,4
Р(А2 / В1) = 7/15 ≈ 0,47
Р(В2 / А1) = 9/15 = 0,6
Р(В2 / В1) = 8/15 ≈ 0,53
Таким образом, по формуле полной вероятности можем вычислить значения вероятностей второй продажи телевизора марки А и В:
Р(А2) = Р(А1)*Р(А2 / А1) + Р(В1)*Р(А2 / В1) = 0,4375*0,4+0,5625*0,47=0,4375

Р(В2) = Р(А1)*Р(В2 / А1) + Р(В1) *Р(В2 / В1) = 0,4375*0,6+0,5625*0,53=0,5625
В результате мы получаем 3 варианта развития событий: магазин продал в первый день 2 «А», 1 «А» и 1 «В», либо 2 «В».
Найдем вероятности каждого варианта:
Р(АА) = 0,4375 * 0,4375 ≈ 0,1914
Р(АВ) = 0,4375 * 0,5625 *2 ≈ 0,4922 (умножаем на 2, так как необходимо учесть варианты, когда первым реализовали телевизор марки А, а вторым - В, и наоборот)
Р(ВВ) = 0,5625 * 0,5625 ≈ 0,3164.

С учетом продаж первого дня и поставок второго, рассчитаем вероятности первой продажи телевизора марки А и В во второй день:
Р(А3 / АА) = 8/18 ≈ 0,4444
Р(А3 / АВ) = 9/18 = 0,5
Р(А3 / ВВ) = 10/18 ≈ 0,5556

Р(В3 / АА) = 10/18 ≈ 0,5556
Р(В3 / АВ) = 9/18 = 0,5
Р(В3 / ВВ) = 8/18 ≈ 0,4444

Отсюда:
Р(А3) = Р(АА)*Р(А3 / АА) + Р(АВ)*Р(А3 / АВ) + Р(ВВ)*Р(А3 / ВВ) =
= 0,1914*0,4444+0,4922*0,5+0,3164*0,5556 ≈ 0,5069

Р(В3) = Р(АА)*Р(В3 / АА) + Р(АВ)*Р(В3 / АВ) + Р(ВВ)*Р(В3 / ВВ) =
= 0,1914*0,5556+0,4922*0,5+0,3164*0,4444 ≈ 0,4931

Тоже думаю что от противного, но концовка не складывается в голове

[PAV]

Первые формулы вычислены правильно, но только они не нужны. Ошибка началась с формулы произведения P(AA) = P(A1)*P(A2), потому что она применима только для независимых событий, а в данном случае это не так. На самом деле эту вероятность надо считать так:

P(AA) = P(A1) * P(A2|A1)

оба сомножителя Вы считать умеете.

Аналогично и с оставшимися двумя исходами.

По поводу концовки первой задачи - ответьте на вопрос, какое событие является противоположным к событию "среди трех проданных телевизоров хотя бы один А".

[holop1]

Как я понимаю, надо найти вероятность продажи только марки В во второй день. Затем от нее.

Добавлено спустя 27 минут 21 секунду:

НУ что такое получилось.
1) Пусть событие А состоит в том, что проданный телевизор - марки А, соответственно, событие В - марки В. Таким образом, находим, что вероятность того, что первый проданный телевизор был марки А составляет:
Р(А1) = 7/16 = 0,4375
Соответственно: Р(В1) = 9/16 = 0,5625.
После продажи первого телевизора остается 15 телевизоров, из которых 6 марки А (если в первом случае был продан марки А) или 7 (если не был). Классическое определение вероятности дает нам:
Р(А2 / А1) = 6/15 = 0,4
Р(А2 / В1) = 7/15 ≈ 0,47
Р(В2 / А1) = 9/15 = 0,6
Р(В2 / В1) = 8/15 ≈ 0,53
В результате мы получаем 3 варианта развития событий: магазин продал в первый день 2 «А», 1 «А» и 1 «В», либо 2 «В».
Найдем вероятности каждого варианта:
Р(АА) = Р(А1)*Р(А2 / А1) = 0,4375 * 0,4 = 0,175
Р(АВ) = Р(А1)*Р(В2 / А1) + Р(В1) Р(А2 / В1) = 0,4375 * 0,6 + 0,5625*0,47 ≈
≈ 0,525
Р(ВВ) = Р(В1)*Р(В2 / В1) = 0,5625 * 0,53 =0,3.

Для решения задачи нам необходимо найти лишь вероятность продажи во второй день только телевизоров марки В.
С учетом продаж первого дня и поставок второго, рассчитаем вероятности первой продажи телевизора марки В во второй день:

Р(В3 / АА) = 10/18 ≈ 0,5556
Р(В3 / АВ) = 9/18 = 0,5
Р(В3 / ВВ) = 8/18 ≈ 0,4444

Отсюда:
Р(В3) = Р(АА)*Р(В3 / АА) + Р(АВ)*Р(В3 / АВ) + Р(ВВ)*Р(В3 / ВВ) =
= 0,175*0,5556+0,525*0,5+0,3*0,444 = 0,493

Далее:
Р(В4 / ААВ) = 9/17 ≈ 0,529
Р(В4 / АВВ) = 8/17 ≈ 0,471
Р(В4 / ВВВ) = 7/17 ≈ 0,412

Р(ААВ) = Р(АА)*Р(В3 / АА) = 0,175*0,556 ≈ 0,097
Р(АВВ) = Р(АВ)*Р(В3 / АВ) = 0,525*0,5 ≈ 0,263
Р(ВВВ) = Р(ВВ)*Р(В3 / ВВ) = 0,3*0,444 ≈ 0,133

Тогда:
Р(В4 / В3) = Р(ААВ)* Р(В4 / ААВ) + Р(АВВ)* Р(В4 / АВВ) + Р(ВВВ)* Р(В4 / ВВВ) = 0,097*0,529+0,263*0,471+0,133*0,412 ≈ 0,23

Затем:
Р(В5 / ААВВ) = 8/16 = 0,5
Р(В5 / АВВВ) = 7/16 ≈ 0,438
Р(В5 / ВВВВ) = 6/16 = 0,375

Р(ААВВ) = Р(ААВ)*Р(В4 / ААВ) = 0,097*0,529 ≈ 0,051
Р(АВВВ) = Р(АВВ)*Р(В4 / АВВ) = 0,263*0,471 ≈ 0,124
Р(ВВВВ) = Р(ВВВ)*Р(В4 / ВВВ) = 0,133*0,412 ≈ 0,055

Р(В5 / В4) = Р(ААВВ)*Р(В5 / ААВВ) + Р(АВВВ)* Р(В5 / АВВВ) + Р(ВВВВ)* Р(В5 / ВВВВ) = 0,051*0,5+0,124*0,438+0,055*0,375 ≈ 0,1

Таким образом:
Р(В3В4В5) = Р(В3)*Р(В4 / В3)*Р(В5 / В4) = 0,493*0,23*0,1 ≈ 0,011

Теперь мы можем посчитать вероятность того, что хотя бы один телевизор, проданный во второй день, - марки А:
Р(А) = 1- Р(В3В4В5) = 1- 0,011 ≈ 0,989.

[PAV]

Опять слишком сложно и отчасти неправильно. Ошибка в следующей формуле:

holop1 писал(а):

Р(В4 / В3) = Р(ААВ)* Р(В4 / ААВ) + Р(АВВ)* Р(В4 / АВВ) + Р(ВВВ)* Р(В4 / ВВВ) =

Вообще говоря, можно брать условные вероятности от условных, но это нужно делать аккуратно и внимательно, а по возможности - избегать. На самом деле, правильная формула выглядит так:

Р(В4 / В3) = Р(АА)* Р(В4 / ААВ) + Р(АВ)* Р(В4 / АВВ) + Р(ВВ)* Р(В4 / ВВВ)

Это ведь формула полной вероятности, а в ней сумма вероятностей гипотез обязательно должна быть равна 1.

Но гораздо проще делать по-другому, почти в одну строчку:

P(BBB) = P(BBB|AA)*P(AA) + P(BBB|AB)*P(AB) + P(BBB|BB)*P(BB)

Все условные вероятности считаются так же, как и безусловные в первый день, поскольку известен точный состав телевизоров.

И я бы рекомендовал не переходить к приближенным десятичным дробям, а считать в точных рациональных.

[holop1]

А Р(ВВВ / АА) и остальные как находятся?

Добавлено спустя 31 минуту 58 секунд:

Че то не могу сообразить!

Добавлено спустя 12 минут 58 секунд:

Может так?
Р(ВВВ / АА) = 10/18* 9/17*8/16 = 0,147
Р(ВВВ / АВ) = 9/18*8/17*7/16 =0,103
Р(ВВВ / ВВ) = 8/18*7/17*6/16= 0,69

Р(ВВВ) = P(BBB / AA)*P(AA) + P(BBB / AB)*P(AB) + P(BBB / BB)*P(BB)=
= 0,147*0,175+0,103*0,525+0,69*0,3= 0,287

Добавлено спустя 3 минуты 46 секунд:

То есть
Р(ВВВ / АА) = 10/18* 9/17*8/16 = 0,147
Р(ВВВ / АВ) = 9/18*8/17*7/16 =0,103
Р(ВВВ / ВВ) = 8/18*7/17*6/16= 0,069

Р(ВВВ) = P(BBB / AA)*P(AA) + P(BBB / AB)*P(AB) + P(BBB / BB)*P(BB)=
= 0,147*0,175+0,103*0,525+0,069*0,3= 0,101

Добавлено спустя 1 час 13 минут 50 секунд:

А второй пункт?

2. Для нахождения необходимой вероятности найдем сначала вероятность продажи во второй день только марки В:
Р(ААА / АА) = 8/18*7/17*6/16 = 0,069
Р(ААА / АВ) = 9/18*8/17*7/16 = 0,103
Р(ААА / ВВ) = 10/18*9/17*8/16 = 0,147

Р(ААА) = P(ААА / AA)*P(AA) + P(ААА / AB)*P(AB) + P(ААА / BB)*P(BB)= = 0,069*0,175+0,103*0,525+0,147*0,3=0,11

Р(АА / ААА) = P(ААА / AA)*P(AA) / Р(ААА) = 0,069*0,175 / 0,11 = 0,11
Р(АВ / ААА) = P(ААА / AB)*P(AB) / Р(ААА) = 0,103*0,525 / 0,11 = 0,49
Р(ВВ / ААА) = Р(ААА / ВВ) *Р(ВВ) / Р(ААА) = 0,147*0,3 / 0,11 = 0,401

То есть, наиболее вероятно, что проданные в первый день телевизоры обоих марок (при условии, что во второй день были проданы только марки А).

[PAV]

holop1 писал(а):

Может так?

Р(ВВВ / АА) = 10/18* 9/17*8/16 = 0,147

Р(ВВВ / АВ) = 9/18*8/17*7/16 =0,103

Р(ВВВ / ВВ) = 8/18*7/17*6/16= 0,69

Я не проверял числа, но идея именно такая.

Остальное сейчас проверять не могу, времени нет.

[holop1]

Ладно, Спасибо большое!