тв, характеристические функции

[Echo-Off]

а) Случайная величина $X$, имеющая характеристическую функцию $Ee^{itX}=1/\sqrt{1+t^2}$, распределена как произведение двух независимых случайных величин, обладающих плотностями. Найти эти плотности.

б) Тот же вопрос, но для характеристической функции $1/(1+|t|)$

[Юстас]

а) Рассмотрим две независимые стандартные нормальные гауссовские величины $X, \ Y$, тогда $\frac{X+Y}{\sqrt{2}}, \ \frac{X-Y}{{\sqrt{2}}}$ также независимые нормальные как ортогональное преобразование исходных. Имеем $2XY=\frac12 \left( (X+Y)^2-(X-Y)^2\right)$, и нетрудно посчитать хар. функцию для $(\frac{X+Y}{\sqrt{2}})^2, \ -\frac{(X-Y)}{\sqrt{2}}^2)$ - это соответственно $\frac{1}{\sqrt{1-2it}}, \ \frac{1}{\sqrt{1+2it}}$. Тогда из указанного выше представления и независимости имеем $\phi_{2XY}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+4t^2}}$, то есть искомые величины $X, \ Y$.
Конечно же есть вариант, когда одна из с.в. просто константа.

Как дополнение к задаче предлагаю доказать следующую характеризацию нормального закона: пусть $\xi, \ \eta$ - независимые невырожденные случайные величины, такие что $\xi+\eta , \ \xi-\eta$ также независимы. Доказать, что $\xi, \eta$ имеют нормальное распределение.

[Echo-Off]

Иными словами, надо угадать. А не угадывая нельзя?

[Юстас]

Наверное можно.

[RIP]

Юстас писал(а):

Конечно же есть вариант, когда одна из с.в. просто константа.

А разве постоянная с.в. обладает плотностью?

[Юстас]

RIP писал(а):

А разве постоянная с.в. обладает плотностью?

Не будем скатываться до мелочей

[RIP]

Да нет, я всерьёз спросил: просто в последнее время голова совсем плохо соображает, вот и подумал, что меня опять глючит.

[Юстас]

Echo-Off писал(а):

б) Тот же вопрос, но для характеристической функции $1/(1+|t|)$

"Лобовое" решение, которое должно сработать и в первом случае:
Пусть $p(t)=\frac{1}{2\pi}\int \frac{\cos(tx)}{1+|x|}dx$ - преобразование Фурье хар. функции: нетрудно показать, что интеграл сходится и $p(t)\geq0$, то есть $p(t)$ - плотность нашего произведения(можно просто сослаться на теорему Пойя, которая требует от хар. функции четности, выпуклости и стремления к 0 на бесконечности). Для $p(t)$ справедливо равенство $2\pi p(t)=\int\limits_{\mathbb{R}}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-y(1+|x|)}\cos(tx)dy dx$, что после изменения порядка интегрирования и нетрудных вычислений приводит к выражению вида

$$2\pi p(t)=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{ye^{-y}}{y^2+t^2}dy=\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\frac{e^{-y}}{y}}{1+\left(\frac{t}{y}\right)^2}dy$$

Далее, для независимых $X,Y$ плотность произведения представляет собой что-то вроде $p_{XY}(t)=\int p_X(\frac ty) p_Y(y)\frac1 y dy$, поэтому, сравнивая два выражения, видим, что можно взять $X$ с плотностью Коши $p(t)=\frac{1}{1+t^2}$ и $Y$ с экспоненциальной плотностью $p(x)= e^{-x}, \ x\geq 0$.
За точность всех вычислений не ручаюсь, но должно получаться что-то похожее.
Вопрос автору: откуда взяты эти задачи?

[Echo-Off]

Юстас, спасибо!

Юстас писал(а):

Вопрос автору: откуда взяты эти задачи?

С олимпиады по терверу, пару дней назад была