Почему интервалы в разных СО - БМ одного порядка?

[mihaild]

ЛЛ-2 писал(а):

С другой стороны, $ds$ и $ds^\prime$ - бесконечно малые одинакового порядка

Судя по тому, что дано без пояснений, это должно быть тривиально - но непонятно, почему так.
Если бы мы знали, что отношение между бесконечно малыми интервалами одно и то же в разных СО, то можно было бы получить
$ds^\prime = f(ds), \frac{ds_1}{ds_2} = \frac{ds_1^\prime}{ds_2^\prime} = \frac{f(ds_1)}{f(ds_2)}$, откуда $f(ds_1) = ds_1 \cdot \frac{f(ds_2)}{ds_2}$.
Но я не понимаю, откуда можно было бы взять постоянство этого отношения - оно кажется должно быть, раз уж интервалы вообще совпадают, но как его получить непосредственно из принципа относительности (и можно ли)?

[rustot]

mihaild в сообщении #1142693 писал(а):

Если бы мы знали, что отношение между бесконечно малыми интервалами одно и то же

Одинаковость порядка малости означает что это отношение конечно (не стремится к нулю или бесконечности) а не что оно равно какой то конкретной величине

[mihaild]

rustot в сообщении #1142717 писал(а):

это отношение конечно

Отношение между разными бесконечно малыми интервалами в одной СО может быть каким угодно. Вопрос в том, можно ли получить какую-то связь между этим отношением в разных СО (и нужно ли это)?

Кажется, что достаточно даже, чтобы равенство интервалов и отношение "лежать между" не зависело от СО - из первого получаем, что для двоично-рациональных $\alpha$ выполнено $f(\alpha ds) = \alpha f(ds)$, из второго - то же самое для всех $\alpha$, откуда $f(ds_1) = c\cdot ds_1$.
Но это опять же сразу более сильное условие получается (так что наверное так получиться не должно).

Т.к. у нас на этот момент есть только принцип относительности, постоянство скорости света, однородность пространства и времени, и изотропность пространства - я, видимо, не понимаю что-то совсем простое. Но что?

[Munin]

mihaild в сообщении #1142693 писал(а):

Судя по тому, что дано без пояснений, это должно быть тривиально - но непонятно, почему так.

Это известное "мутное место" в ЛЛ-2 - действительно, непонятна логика, и кроме того, можно обойтись более прямыми рассуждениями без бесконечно малых величин.

[mihaild]

Я, видимо, не понимаю, что значит принцип относительности.

Возьмем вроде бы стандартную конструкцию - пусть у нас есть два события $A$ и $B$, произошедших в одной СО в начале координат в моменты времени $0$ и $2$; квадрат интервала между $A$ и $B$ равен $4$. Скорость света будем считать равной $1$, пространство двумерным [тут же ничего из-за этого не сломается?]. Введем третье событие, произошедшее в момент времени $1$ в точке $(0, 1)$.
Рассмотрим другую СО, движущуюся относительно первой со скоростью $(-v, 0)$, в которой событие $A$ произошло в момент $0$ в начале координат.
Событие $C$ в движущейся СО произошло в момент $t_2$ в точке $(v t_2, 0)$ [уже непонятно - почему если одна система движется относительно другой с какой-то скоростью - то другая движется относительно нее с противоположной скоростью?]. Событие $B$ произошло в движущейся СО в момент $t_1$ в точке $(x_1, y_1)$.
Из того, что интервал, равный нулю в одной СО, равен нулю во всех остальных, имеем $x_1^2 + y_1^2 = t_1^2$, $(v t_2)^2 + y_1^2 = (t_2 - t_1)^2$.

Если предположить, что, например, если два отрезка времени равны в одной СО, то они равны и в другой, то получаем $x_1 = \frac{v t_2}{2}$. Откуда квадрат интервала между $A$ и $B$ в движущейся СО равен $t_2^2 - (t_2 v_2)^2 = 4 y_1^2$. И осталось каким-то образом получить $y_1 = 1$.

[Munin]

mihaild в сообщении #1146863 писал(а):

уже непонятно - почему если одна система движется относительно другой с какой-то скоростью - то другая движется относительно нее с противоположной скоростью?

Мы можем построить симметричную систему, скажем, расталкивающую материальные точки пружинкой. И запустить её так, чтобы первая мат. точка была бы неподвижной в первой СО, а вторая - неподвижной во второй СО. Тогда мы можем развернуться задом наперёд, и убедиться, что скорость первой СО относительно второй - равна по модулю скорости второй СО относительно первой. Но поскольку мы развернулись, то вектор будет не равен, а противоположен.

mihaild в сообщении #1146863 писал(а):

Если предположить, что, например, если два отрезка времени равны в одной СО

Это в общем случае неверно, но в данном случае верно - из-за движения поперёк, мы можем использовать опять пространственную симметрию.

mihaild в сообщении #1146863 писал(а):

И осталось каким-то образом получить $y_1 = 1$.

Поскольку переход от первой СО ко второй совпадает с переходом от второй к первой, за исключением направления скорости поперёк оси $y,$ то там может быть только один и тот же коэффициент, а переходя туда-обратно, мы видим, что квадрат этого коэффициента равен 1, то есть сам он может быть только $\pm 1.$ Ну и минус отбрасывают по соображениям, чтобы преобразования в пределе нулевой скорости становились тождественными.