Числовые эпохи в истории человечества.

[vladyur]

Существует два типа информации − образная и числовая. Обработка информации есть мышление. Биологические объекты, в том числе и человек, воспринимают образную информацию. Компьютеры работают с числовой информацией. Таким образом, существует два типа мышлений.
Слово есть имя образа. Оно возникло из дочеловеческих образных представлений − криков, жестов, иных действий животных как реакции на некоторые образы. А числа нет в исходном человеческом мышлении. Оно есть предмет длительного развития человеческой цивилизации.
В своем развитии человечество прошло целый ряд числовых эпох.э
1. Эпоха натурального числа. Оно выражалось предметами − пальцами, камушками и т.д. Действия над числами осуществлялись с помощью действий над предметами. В конце этого периода возникло изображение натуральных чисел и действия над ними.
2. Эпоха дробных чисел. Произошло расширение чисел на нецелые числа. Эти числа выражались уже парой чисел. Действия над ними составили науку − арифметику, которую до сих пор изучают в школах. Для изображения чисел использовалась римская или им подобные системы счисления.
3. Эпоха, связанная с арабской системой представления чисел. Было введено два класса чисел. В теории − это действительное число. Для практических (вычислительных) целей было разработано понятие приближенного числа. С этой эпохой связан наивысший расцвет теоретической математики.
4. Эпоха компьютерных чисел. Используется двоичная система счисления. В вычислительной технологии понятие приближенного числа было отброшено. Основным стало понятие рационального числа. Благодаря компьютерам вычислительная мощь возросла на много порядков.
Но на этом развитие в области числа не закончилось. Мир стоит перед новой числовой эпохой. Причина этому в следующем:
1. Компьютерные вычисления основаны на теоретических моделях, опирающиеся преимущественно на действительные числа. При вычислениях происходит переход (трансформация) действительных чисел в рациональные. Считается, что возникающие при этом ошибки малы и не могут существенно сказаться на результатах расчетов. Но это не так. Переход от действительного числа к рациональному может привести к крупным ошибкам (трансформационные ошибки). А это может в свою очередь приводить к самым непредсказуемым последствиям: авариям, катастрофам и просто недопустимым погрешностям.
2. Компьютерная вычисления служат не для решения математических задач, а для решения практических задач − конструирования, проектирования и т.д. Но в практической деятельности нет рациональных чисел. Все нецелые числа имеют своим источником измерение. А измерение дает не рациональные, а метрологические числа, т.е. числа, имеющие метрологическую характеристику. И человеку тренбуетсяч иметь на выходе компьютерного расчета не рациональные числа с тридцатью разрядами с неизвестной достоверностью, а метрологические числа, которые позволили бы ему решать практические задачи конструирования, проектирования, наблюдения. Таким образом, современный компьютер решает не те задачи, которые требуются от вычислительной практики.
3. Современный компьютер является обработчиком шумов. Реальные практические числа имеют в большинстве случаев 2-5 десятичных разрядов. А компьютер работает с числами с разрядностью от 7 до 30, которых просто не существует в природе. Большая часть этих разрядов является шумовой и несет вред, как любая шумовая информация.
Приведенное приводит к тому, что значительная часть аварий, катастроф и сбоев связана именно с непредставительностью используемых чисел и вычислительных технологий. Рост вычислительных мощностей и сложности задач ведет к лавинообразному увеличению такого рода ошибок. Использование нынешней компьютерной технологии создает угрозу самому будущему человечества.
Выход из тупика состоит в переходе в новую числовую эпоху.

[AndAll]

vladyur писал(а):

...является шумовой и несет вред, как любая шумовая информация....

А вот "белый шум" успокаивает головную и зубную боль, т.е. несет пользу С чего бы это

[maxal]

Ваш вопрос в стиле "доверяете ли вы человеку с ножом?". На него нельзя дать общий ответ. Если этот человек - повар в ресторане, и ножом он режет мясо в суп, - то ему доверять можно; а если это незнакомец в темном переулке - то вряд ли.

Так и с компьютером - все зависит от того, кто его использует и как. Компьютерные расчеты могут принести много пользы, а вот просчеты - много вреда. Использовать компьютер (как и любой другой инструмент) нужно с умом, и в частности хорошо понимать, что он делает, как, и насколько достоверны получаемые результаты. Тогда и "доверие" будет не какое-то абстрактное, а вполне конкретное, основывающееся на знание и понимании основ работы компьютера как устройства.

[Алексей К.]

Весьма распространённое заблуждение, что компьютеры живут сами по себе. Их на самом деле оживляют те же биологические существа. Как и упомянутые maxal'ом повара (отличный ответ!), они в разной степени владеют ремеслом. Например, умное существо не будет тупо сувать из учебника в компьютер формулу $x_{1,2}=-p/2\pm\sqrt{p^2/4-q}$ для корней квадратного уравнения $x^2+px+q=0$, а только её половинку, выбранную в зависимости от знака $p$. И новая числовая эпоха ему на фиг не нужна.
Как и повара, существа этой профессии отдельно решают проблему доверия к себе со стороны потребителя.

Добавлено спустя 33 минуты 44 секунды 555 милисекунд:

vladyur писал(а):

А компьютер работает с числами с разрядностью от 7 до 30, которых просто не существует в природе.

Что касается вопроса о существовании чисел в природе, и о природе чисел ($\pi$ и др.), то... надо поостыть, обмыслить всё . Ветка переполнена этими обсуждениями... И, насколько я понимаю современные тенденции, такие числа могут существовать.

[Azog]

очередной бред сумасшедшего.

[Бодигрим]

Цитата:

Считается, что возникающие при этом ошибки малы и не могут существенно сказаться на результатах расчетов. Но это не так. Переход от действительного числа к рациональному может привести к крупным ошибкам (трансформационные ошибки).

Именно поэтому дисциплина "Методы вычислений" существенное внимание уделяет оценке возникающих погрешностей и устойчивости результатов вычислений. Если вы не провели соответствующее исследование задачи, получили неверный результат и вините в этом компьютер, то кто вам злобный дятел? Ср. сообщение Алексея К.

Цитата:

А измерение дает не рациональные, а метрологические числа, т.е. числа, имеющие метрологическую характеристику.

Не понял. Вы не могли бы дать более развернутое определение "метрологических чисел"? Пожалуйста, сопроводите его примерами метрологического и неметрологического числа.

Цитата:

...несет вред, как любая шумовая информация.

Любопытное утверждение. Как насчет доказательства? Начните его с определения вреда.

[Yarkin]

vladyur писал(а):

Выход из тупика состоит в переходе в новую числовую эпоху.

Эта эпоха существовала во времена Пифагора. Почитайте историю.

[bot]

Сначала ответил, а потом уж стал читать. Ответил нет, потому что пользуясь сравнением maxal'а увидел только нож в вопросе, а человека в нём совсем нет.

[AD]

vladyur писал(а):

Для практических (вычислительных) целей было разработано понятие приближенного числа.

Впервые слышу. Поясните, пожалста.

vladyur писал(а):

При вычислениях происходит переход (трансформация) действительных чисел в рациональные. Считается, что возникающие при этом ошибки малы и не могут существенно сказаться на результатах расчетов. Но это не так.

Ну извините, ну это, пожалуй, самая маленькая ошибка, которую совершают компьютеры при рассчетах. Многие задачи в любом случае не могут быть решены точно (например, такая важная, как поиск собственных значений матрицы), поэтому вопрос точности приближения всё равно стоит, пусть даже компьютеры бесконечно точные. Вот Бодигрим тоже намекает:

Бодигрим писал(а):

Именно поэтому дисциплина "Методы вычислений" существенное внимание уделяет оценке возникающих погрешностей и устойчивости результатов вычислений. Если вы не провели соответствующее исследование задачи, получили неверный результат и вините в этом компьютер, то кто вам злобный дятел? Ср. сообщение Алексея К.

Да, кстати, вот страничка аффтара, видимо ...

vladyur писал(а):

Все нецелые числа имеют своим источником измерение. А измерение дает не рациональные, а метрологические числа, т.е. числа, имеющие метрологическую характеристику.

Ну и имя тоже напоминающее.

Добавлено спустя 2 минуты 58 секунд:

vladyur. Заявляю, что вы себе противоречите вот по этим пунктам:
1. Вы утверждаете, что представление числа в компьютере недостаточно точно, и подмена действительного числа рациональным вызывает существенную погрешность.
2. Вы утверждаете, что представление числа в компьютере слишком точно, и такой точностью человек никогда не пользуется.

[Алексей К.]

Ну, почти вынудили... Раз уж метрология пошла...

Алексей К. чуть повыше писал(а):

Весьма распространённое заблуждение...

Я даже эту фразу списал по памяти из пиесы (там, правда, "Заблуждение, весьма распространённое"). Пиесу по метрологии я написал в 1996 г. Она шла на подмостках ОТК предприятия, на котором я тогда работал . Эпизодик, где обсуждается отношение к компьютеру, здесь (битая ссылка удалена). $\cal A$ --- это типа ВПС, $\cal H$ --- Начальник.
В других эпизодах есть, похоже, и про метрологические числа, только слова такие не используются. Используются "измерения", "погрешности"...

[Henrylee]

Алексей К. писал(а):

Эпизодик, где обсуждается отношение к компьютеру, здесь. $\cal A$

Ссылка не работает

[PAV]

vladyur писал(а):

Приведенное приводит к тому, что значительная часть аварий, катастроф и сбоев связана именно с непредставительностью используемых чисел и вычислительных технологий. Рост вычислительных мощностей и сложности задач ведет к лавинообразному увеличению такого рода ошибок. Использование нынешней компьютерной технологии создает угрозу самому будущему человечества.

А мне особенно нравится этот убойный аргумент, к которому регулярно апеллируют различные авторы новых теорий, что, мол, всяческие беды "в значительной степени" происходят из-за "неправильных" теорий, а вот вам новая "правильная", с которой все будет хорошо.

[vladyur]

maxal писал(а):

Ваш вопрос в стиле "доверяете ли вы человеку с ножом?". На него нельзя дать общий ответ. Если этот человек - повар в ресторане, и ножом он режет мясо в суп, - то ему доверять можно; а если это незнакомец в темном переулке - то вряд ли.

Так и с компьютером - все зависит от того, кто его использует и как. Компьютерные расчеты могут принести много пользы, а вот просчеты - много вреда. Использовать компьютер (как и любой другой инструмент) нужно с умом, и в частности хорошо понимать, что он делает, как, и насколько достоверны получаемые результаты. Тогда и "доверие" будет не какое-то абстрактное, а вполне конкретное, основывающееся на знание и понимании основ работы компьютера как устройства.

Интересно, а доверяете ли вы человеку с зарином или газом В? С пистолетом? Атомной бомбой? Если человек хороший, то да, если плохой - то нет. Так что это совершенно нелепый аргумент.

Если люди ничего не знали о микробах и вирусах, то они лезли в раны с грязными руками. Но как узнали, то стали соблюдать гигиену.

Точно также и здесь. До поры до времени, когда в зобу спирало от восторга от скорости расчетов и их разнообразия (до сих пор я лично испытываю восторг, пройдя от Наири с 1000 ячееек памяти к современному компьютеру) можно было мириться с неконтролируемостью точности вычислений, с отсутствием связи между точностью входных данных и точностью результатов, с использованием рациональных чисел, которых в практической деятельности вообще нет (за исключением, возможно, денежных), мириться с замиранием сердца, что результат раасчета может вообще не иметь ничего общего с истиной, надеясь, что это бывает очень редко и не скажется на безопасности АЭС или хранилищ термоядерного оружия. Но сейчас настало время взглянуть на компьютер более трезвым и прагматическим взглядом. И на то, как математики смогли справиться с теми проблемами, которые он перед ними поставил. Увы, справились плохо. Придуманное ими для компьютеров число с ужасным названием "число с плавающей точкой" (на само деле она-то как раз фиксирована - в крайнем левом положении или даже еще левее) это самое плохое в истории число. Эти числа не имеют никакой структуры. Даже числа первобытных людей имели структуру математической группы. А дробные, действительные и приближенные числа прошлых эпох уже имели структуру поля (алгебры с делением). Правда, алгебра приближенных чисел была неассоциативная. Но в любом случае алгебраические действия с этими числами имеют результатом число этой же структуры. Но множество компьютерных рациональных чисел одного представления вообще не составляют никакой замкнутой структуры ни по одной алгебраической операции. Даже тривиальнейшее уравнение 3х=1 не имеет решения на множестве любых компьютерных чисел. И если математикам это ничего не говорит, то это не очень продвинутые математики.

В современной теоретической математике есть раздел приближенных вычислений. На который многие любят ссылаться. Увы, это раздел математики прошлой числовой эпохи, эпохи ручного счета. В новой эпохе этот раздел стал практически бессмысленным, хотя в университетах ему посвящают много времени. Будучи во времена своей прекрасной молодости программистом, занимаясь программированием в одной из самых сложных областей - в области сейсморазведки - я ни разу не испытывал потребности обращаться к этому разделу математики. И не знаю никого, кто бы к нему обращался.

Вот некоторые замечания по поводу полемики.

[Алексей К.]

vladyur писал(а):

Интересно, а доверяете ли вы человеку с зарином...
Так что это совершенно нелепый аргумент.

При обсуждении человека с зарином просто надо будет переопределить тёмный переулок на некоторую другую область (например, "вне лаборатории").
Аргумент вполне лепый. Нарочитая нелепость ситуации (а не аргуметна) просто призвана продемонстрировать нелепость вопроса.

К приведённой аналогии можно придраться с тех позиций, что в вопросе "доверяете ли Вы компьютеру" человека не было, а взявши нож, maxal человека добавил. Но, надеюсь, компьютер без человека мы пока не рассматриваем...

Добавлено спустя 11 минут 26 секунд:

vladyur писал(а):

В современной теоретической математике есть раздел приближенных вычислений. ... Будучи во времена своей прекрасной молодости программистом, занимаясь программированием в одной из самых сложных областей - в области сейсморазведки - я ни разу не испытывал потребности обращаться к этому разделу математики.

А может, Вы были плохим программистом?
Даже если так --- полагаю, непредсказуемость землетрясений не Ваша вина (впрочем, сейсморазведка, возможно, не имеет к этому отношения).

Или, наоборот, упомянутый раздел был/стал для Вас настолько естественным, что Вы и не замечали, как писали код в рамках его требований. Например, $\verb вместо $\verb.

[vladyur]

Цитата:

Именно поэтому дисциплина "Методы вычислений" существенное внимание уделяет оценке возникающих погрешностей и устойчивости результатов вычислений. Если вы не провели соответствующее исследование задачи, получили неверный результат и вините в этом компьютер, то кто вам злобный дятел?

Цель дисциплины "Методы вычислений" состоит в определении минимально необходимого объема математических операций для получения некоторого результата. Например, сколько необходимо взять членов ряда для полученния заданной точности в определенном интервале значений аргумента. Или как численно проинтегрировать функцию, использую наименьшее к-во членов и какой метод интегрирования для этого лучше использовать. Фактически, все это служило цели оптимизации и экономии вычислительного ресурса. Когда этот ресурс состоял из листа бумаги и гусиного пера или "железного Феликса", это было очень и очень актуально.
А кого сейчас это интересует?. Кому нужно экономить количество членов ряда? Возьмем сразу десять или сто, "точности" хватит с избытком, возьмем еще побольше формат чисел, например, повышенной точности, так что берем самый простой метод без всяких фокусов пишем тупо программу, Если даже десять разрядов у нас получатся недостоверных, то все равно еще десять остаются "точных", этого хватит с избытком для практики. Так рассуждают современные программисты. И в рамках существующего понятия числа все здраво.. Зачем использовать десять методов численного интегрирования, когда простейший при вычислительных компьютерных возможностях вполне обеспечит все практические потребности.

Вот почему нынешняя теория вычислений есть математика прошлой эпохи. А нынешняя есть фактически теория программирования. С классической математикой не имеющая, естественно, ничего общего.

Это по поводу теории вычислений.

Второй вопрос интересней.

Цитата:

Не понял. Вы не могли бы дать более развернутое определение "метрологических чисел"? Пожалуйста, сопроводите его примерами метрологического и неметрологического числа

.

Тут я хотел бы, чтобы меня послушали все математики. Ибо число есть главное понятие математики. И вот тут-то и самая загвоздка. Самой распространенной на практике числовой институции в математике не существует.

Опишем все типы. Число есть некоторая характеристика элемента линейно упорядоченного множества. Основные типы чисел, важные для практики:
1. Натуральное и целое число.
2. Дробное число, состоящее из двух целых (со знаком), первое - числитель, второе - знаменатель. Например, 2/2, 4564638/567 и т.д.
3. Действительные. Например, пи, е, log 23 и т.д. Смешно второе название "вещественные числа". Какая институция может быть менее "вещественной", чем число? Это информационная категория в чистейшем виде. В цифровом арабском представлении действительное число представляется бесконечным числом цифр.
4. Рациональное число. Это разновидность действительного числа, которое можно представить в арабской числовой нотации (в виде одной последовательности цифр и точки или в виде двух последовательностей (мантисса и степень). Рациональное число 2.34 есть, фактически, действительное число 2.3400000000000000000000...
Поэтому записи 2.4, 2.40, 2.40000000 идентичны. Для изображения чисел представляется определенное место - формат представления. В компьютерах используются только целые и рациональные числа. Рациональные числа в современных компьютерах используются, как правило, согласно стандарту IEEE 754. Существует 3 формата представления рациональных чисел -- простой, двойной и повышенной точности. В последних числах мантисса состоит из двадцати десятичных разрядов (естественно, в двоичном представлении). В природе таких чисел просто не существует. Даже наиболее точные измерения, например, скорости света, имеют всего 10 разрядов. Двадцатиразрядная точность не может быть достигнута, видимо, вообще никогда, так как тут уже квантовые эффекты станут проявляться.
5, Наконец, отметитм еще один тип чисел. Это числа денежные. Например, число 23.53 (руб). есть как бы и рациональное. Но эквивалентное ему 3253 (коп) есть уже целое. Денежные числа это какие-то промежуточные, они фактически точно не описаны.

Мы описали все числа? Нет, самые главные, самые распространенные мы не описали. Современная математика напоминает Журдена, который говорил прозой, не подозревая об этом.

Это числа измерительные, метрологические. Рассмотрим любой измерительный прибор. Если мы измерили по прибору значение 1.24, то есть ли это число рациональное? Нет. Потому что если вы его представите как 1.2400, то вам любой инженер скажет, что это другое измерение на другом приборе и значит уже не то число.

Более того, если вы представите в таком виде результат измерения в любой физический журнал, то вам статью просто завернут.

Дело в том, что результат измерения есть на самом деле не рациональное (фактически, действительное) число, а особое метрологическое число. На приборе имеется метрологическая характеристика - например, абсолютная погрешность. Например, это 0.03 Поэторму правильное описание измерения по этому прибору есть 1.24+-0.03. Иногда пишут 1.24(3) или 1.24'3. Таким образом, метрологическое число есть двухкомпонентное число, состоящее из номинала и некоторой метрологической характеристики. Метрологические характеристики могут быть разными - абсолютная ошибка, относительная ошибка, точность, доверительный интервал и т.д. Самое забавное, что в самой метрологии понятия метрологического числа нет. Можете проверить по Яндексу.
Причина в том, что нынешняя метрология больше занимается описаниями приборов, чем самого процесса измерения и их результатов.

Но наверное кто-то скажет, что это не число, а известная в математике конструкция действительного интервала, ограниченного рациональными числами. 1.24(3) =1.21-1.27. Нет, метрологические числа не есть математические интервалы. Например, выражение 1.2456738-12345.89 есть нормальный интервал. Но никакого метрологичнеского числа он представить не может. Такого измерения, которое можно было бы представить этим интервалом, не существует. Хотя определенная связь с интервалами есть.

В этом как раз и есть принципиальный порок интервального исчисления - нового модного направления в компутинге. Они исчисляют математические интервалы, а практика требует совсем иного. О других пороках интервального (достоверного !!!) исчисления говорить не будем.

Итак, что мы видим. Главная, фактически единственная нецелая числовая институция (за исключением денежной), метрологическая, с которой мы все встречаемся постоянно и непрерывно каждый день, не имеет ни метрологического, ни тем более математического описания. Нет ни математической теории исчисления метрологических чисел и их исчисления, нет и компьютерной технологии работы с ними.
А ведь с ними встречаются не только математики, метрологи или инженеры. С ними встречается любая бабуся, которая перевешивает колбасу на контрольных весах и пытается понять, соответствует ли метрологическая характеристика этого куска колбасы... чему??? Нормативов нет. Только на уровне некоторого чутья. 5 граммов не хватает - вроде ничего, в норме. А 50 - уже перебор, не соответствует заявленному метрологическому числу 200 (граммов). Так что описание метрологических чисел требуется не только инженерам и авторам статей в физических журналах, но даже простым людям, которых часто обманывают ввиду отсутствия соответствующих описаний и стандартов.
Еще один пример, но имеющий самое первостепенное значение для нашей цивилизации. Рассмотрим дигитальный измерительный прибор. Результат измерения состоит либо из одной мантиссы, либо из мантиссы и степени. Заметим, что мантисса является правоприжатой. Все ее разряды значащие, незначащих просто нет. Метрологическая характеристика имеет автоматическое описание - единица разряда степени большей на 1 степени числа. Т.е. имеет классическое метрологическое число с номиналом и метрологической характеристикой. И что же делает наш компьютер при вводе числа в обработку в формате "числа с плавающей точкой". Не поверите. Он сдвигает мантиссу до упора влево. Этим самым всю ту ценнейшую метрологическую характеристику, которая уже определена и записана в его формате... УНИЧТОЖАЕТ. А после обработки компьютер выдает двадцатиразрядные числа и как бы говорит пользователю. Вот тебе куча дерьма, разбирайся сам, какие из них достоверные, а какие шум. Правда, некие шибко грамотные программеры решают за этого пользователя. Хватит мол ему и пяти разрядов, наверняка они достоверные (откуда ему известно?) и закладывает пять разрядов в выдачу на принтер.
Итак, уничтожается входная метрологическая информация, а затем чешут репу, а какова же метрологическая характеристика выходных данных.

Такова весьма неприглядная картина с числовой обработкой измерительных данных и в математической теории, и в компутинге
Вот почему доверять современному компьютеру никак нельзя.

Все это не относится к обработке целых чисел и символьных данных,
тут заслуги науки и компьютера выдающиеся. Можно только снять шляпу.
Итак, подводим итог. Все (за исключением денежных) нецелые числа в практической и научной (за исключением теоретико-математической) деятельности есть метрологические числа, имеющие номинал и метрологию. И задача, которая стоит перед компутингом - это научиться работать с такими числами. А нынешние рациональные числа вместе с их процессорами не нужны и их надо выбросить на свалку.

Так что перед математиками стоят большие задачи.

Новая числовая эпоха - эпоха метрологического числа. Это эпоха, когда к любому нецелому числу, например, 2.34 сразу же последует вопрос - "а точность (ошибка, или еще)". И пока не будет дан ответ, его НЕЛЬЗЯ использовать. Когда не скажут, что нормальная температура тела 36 градусов, а 36.5(5), температура воды не 100 градусов, а для равнинных местностей 100(1) градус, вес балки не 500 кг, а 500(3) кг и т.д. Надо будет переделать ВСЕ программы, переделать все справочники и многое другое. Это революция.

И не пора ли ее начинать, пока не начали сыпаться градом самолеты и рушиться мосты и возможно взрываться АЭС. Ведь все они под управлением компьютеров, работающих попросту неверно.