P(x,y,z)

[Navid]

Let $P(x, y, z)$ be the polynomial with integer coefficients. Suppose that for all reals $x, y, z$ the following equation holds:
$P(x, y, z) =- P(x, z, y) = -P(y,x, z) = -P(z, y, x)$
Prove that if $a, b, c$ being integers then $ P(a,b,c)$ takes an even Value.

[Sonic86]

(вопрос к тем, кто уже решил)

Я правильно понимаю: раз многочлен имеет группу симметрий переменных $A_3$, то он делится на $A_3(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)$? Здесь про это?

[Navid]

Sonic86 в сообщении #1142166 писал(а):

(вопрос к тем, кто уже решил)

Я правильно понимаю: раз многочлен имеет группу симметрий переменных $A_3$, то он делится на $A_3(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)$? Здесь про это?

yes, That is. indeed since $ P(x,y,y)= P(x,x,z)=P(x,y,x)=0$ then the polynomial is divided by $ A_3(x,y,z)=(x-y)(y-z)(z-x)$ whence $ P(x,y,z)= (x-y)(y-z)(z-x)Q(x,y,z)$ where $Q$ is a symmetric Polynomial. now for any triples of $ (a,b,c)$ of integer Components one of the numbers $ a-b , b-c , c-a$ is even. and our proof is complete.