Замкнутые пути в Z^n

[arseniiv]

Несложная. Рассмотрим граф из точек $\mathbb Z^n$, соединённых рёбрами тогда, когда одну можно получить из другой прибавлением единицы к одной из координат. Найдите длины всех возможных замкнутых путей, в которых никакие соседние $n+1$ вершин не лежат в одной гиперплоскости.

Может, найдёте решение покрасивее моего. Если не будет в течение какого-то времени, выложу своё.

[Sirion]

Можно уточнить понятие "соседние"?

[arseniiv]

Идущие непосредственно друг за другом в пути.

[Sirion]

Тогда ответ - все кратные 2n. Выберем направление обхода пути и рассмотрим рёбра как векторы. Чтобы выполнялось условие, необходимо, чтобы среди n последовательных рёбер хотя бы раз встретился вектор, коллинеарный каждому базисному вектору. Если рассмотреть путь в проекции на какую-нибудь ось, становится понятно, что векторы, коллинеарные каждому базисному вектору, должны встречаться в пути чётное количество раз. Таким образом, общее количество рёбер пути должно делиться на 2n. Для каждого натурального k нетрудно построить пример пути из 2nk рёбер - сначала k раз идём поочерёдно в направлении всех базисных векторов, затем k раз идём поочерёдно в направлении векторов, противоположных базисным.

[arseniiv]

Ага.