IMC 2016

[arqady]

Здесь можно посмотреть результаты и задачи.

[iancaple]

Есть решение попроще жюрийского для Pr.3,Day1
Условие $a_i+b_i>0,i=1,...n$, для простоты сразу обозначим $f(a,b)=\frac{ab-b^2}{a+b}$
Док.

$$\frac 1n\sum_{i=1}^nf(a_i,b_i)\leq f\left(\frac 1n\sum_{i=1}^na_i,\frac 1n\sum_{i=1}^nb_i\right)$$

Это свойство (я немного перефразировал условие) сразу равносильно вогнутости функции в данной двумерной области
Чтобы доказать отрицательную определенность 2-го дифференциала f быстрее, повернем область (и изменим масштаб, что тоже не влияет на вогнутость) $x=a+b,y=a-b$,
$f(x,y)=\frac y2-\frac{y^2}{2x}$, а у нее уже матрица Гессе считается в уме, видно, что при $x>0$ отрицательно определена.
UPD:И кстати лучше без матрицы Гессе, f, с точностью до линейного слагаемого, произведение одномерных вогнутых функций.

[arqady]

Можно так:

$$\sum\limits_{i=1}^n \left(\tfrac{a_ib_i-b_i^2}{a_i+b_i}-\tfrac{1}{2}\left(a_i-b_i\right)\right)+\tfrac{1}{2}\left(\sum\limits_{i=1}^na_i-\sum_{i=1}^nb_i\right)-\tfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i\cdot \sum_{i=1}^n b_i - \left( \sum_{i=1}^n b_i\right) ^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n (a_i+b_i)}\leq0$$

или

$$\sum\limits_{i=1}^n\frac{(a_i-b_i)^2}{a_i+b_i}\geq\frac{\left(\sum\limits_{i=1}^na_i-\sum\limits_{i=1}^nb_i\right)^2}{\sum\limits_{i=1}^n(a_i+b_i)}$$

Последнее неравенство это C-S.

[SomePupil]

arqady в сообщении #1140970 писал(а):

Здесь можно посмотреть результаты и задачи.

У меня ссылка не работает. Кто-нибудь может выложить топ10 по индивидуальному зачету?

[Lia]

SomePupil
Сейчас проверьте.

[SomePupil]

Lia, хм, все равно ничего не изменилось.

[Lia]

А Вы бы понастойчивей. Проблемы на том конце, мое положение ничем не более выгодно.

[SomePupil]

Lia, большое спасибо!

[bot]

SomePupil в сообщении #1141060 писал(а):

У меня ссылка не работает.

У меня тоже. Вот рабочая http://www.imc-math.org.uk/imc2016/IMC2016ResInd.pdf
На всякий случай корневая http://www.imc-math.org.uk/

-- Сб авг 06, 2016 18:34:43 --

A, посмотрел на дату и понял - arqady дал ссылку на временную страницу.

[arqady]

У меня эта временная страница продолжает почему-то открываться.