Зависимые события

[NEvOl]

Подскажите пожалуйста тогда, как определить в общем случае являются события зависмыми или нет. По определению, события являются зависимыми если появление одного события влияет на вероятность появления другого. Но не совсем понятно как пользоваться этим определением.
Например в этой задаче: Среди билетов лотереи половина выигрышных. Сколько лотерейных билетов надо купить, что бы с вероятностью, не меньшей 0.999, быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету ?Если определить событие $A_i$ как выигрыш по i ому билету, то события $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_n$ являются зависимыми или нет ? Если предположить что есть 100 билетов и 50 выйгрышных то $P(A_1)=\frac{50}{100}$, если мы вытащили первый билет и он оказался невыигрышным то $P(A_2)=\frac{50}{100}\frac{50}{99}$ ? Не совсем понимаю, это зависит от того какие "испытания" происходят в условии задачи?

[ewert]

NEvOl в сообщении #1139447 писал(а):

По определению, события являются зависимыми если появление одного события влияет на вероятность появления другого.

Как определение это никуда не годится, но ему можно придать человеческий облик: "если условная вероятность второго события при наступлении первого не совпадает с безусловной вероятностью второго".

NEvOl в сообщении #1139447 писал(а):

если мы вытащили первый билет и он оказался невыигрышным то $P(A_2)=\frac{50}{100}\frac{50}{99}$

Вот второй сомножитель -- это и есть условная вероятность. А само утверждение неверно, естественно.

NEvOl в сообщении #1139447 писал(а):

это зависит от того какие "испытания" происходят в условии задачи?

Это зависит не от того, происходят ли какие испытания, а от того, известны ли нам результаты этих испытаний.

[NEvOl]

ewert в сообщении #1139461 писал(а):

известны ли нам результаты этих испытаний.

хм...тогда я правильно понимаю что если результаты испытаний неизвестны то события являются независимыми, если же результат известен, то события будут зависимыми ?

[Mihr]

Неправильно. Если результаты испытаний неизвестны, то используется обычная (безусловная) вероятность. Если известны - используем условную вероятность.
Для зависимых событий условная вероятность не совпадает с безусловной, и именно в этом смысле информация о появлении одного события влияет на вероятность появления другого. Если же события независимы (то есть условная вероятность совпадает с безусловной) то информация о появлении одного из таких событий, очевидно, ничего не даёт в оценке вероятности появления другого события (из пары независимых) - вероятность его появления для нас не изменяется при получении подобной информации.

[NEvOl]

значит в задаче: Среди билетов лотереи половина выигрышных. Сколько лотерейных билетов надо купить, что бы с вероятностью, не меньшей 0.999, быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету ? Если определить событие $A_i$ как выигрыш по i ому билету, то для событии $A_1$, $A_2$, $A_n$ мы должны использовать безусловную вероятность так как мы не знает на самом деле выигрышный билет или нет (неизвестен результат испытания) ?

[Mihr]

NEvOl, мне кажется, Вы недопоняли. События $A_i$ и $A_j$ (где $i \ne j$) не являются независимыми, так как появление информации о выигрыше на $i$-й билет изменяет шансы $j$-го билета оказаться выигрышным (в лотерее участвует фиксированное число билетов, среди них фиксированное число выигрышных). Здесь дело совсем не в том, знаем ли мы на самом деле: выиграл $i$-й билет или нет. Дело в следующем: если бы мы узнали об этом, изменились бы шансы у другого билета оказаться выигрышным или нет, не изменились бы? Если изменились бы - рассматриваемые события зависимы. В противном случае нет.

[NEvOl]

Я полагаю что изменилась бы, если у нас 100 билетов и мы узнали именно те 50 которые невыигрышны, то 51 билет с вероятностью 1 был бы выигрышным (иначе мы не можем этого утверждать), вы это имеет ввиду ?

[Mihr]

NEvOl, я пытался объяснить (или напомнить), что означает зависимость или независимость событий вообще, по определению. Строго говоря, события $A_i$ и $A_j$ (где $i \ne j$) в данной задаче независимыми не являются. Однако при большом тираже лотереи (и, соответственно, значительном количестве выигрышных билетов) появление информации о наступлении (или ненаступлении) события $A_i$ меняет вероятность наступления события $A_j$ лишь незначительно. Чтобы определить, насколько именно меняется эта вероятность, нужно знать общий тираж лотереи и общее количество выигрышных билетов. В приводимой Вами задаче этой информации нет. Следовательно, здесь молчаливо предлагается пренебречь существующей зависимостью событий $A_i$ и $A_j$. Можно сказать так: эти события почти независимы. В том смысле, что появление информации о наступлении/ненаступлении одного события почти не меняет вероятность наступления другого события. Пренебрежём этим "почти", то есть станем считать эти события просто независимыми. Иного пути у нас нет, поскольку нет информации о тираже. И решим задачу в этом приближении. (Здесь для решения задачи проще всего определить вероятность наступления противоположного события).

[NEvOl]

Mihr
спасибо за объяснение, а то я никак не мог понять почему в этой задаче используется безусловная вероятность (в то время как события являются зависимыми).

[NEvOl]

Mihr
Вот такой еще вопрос по зависимым событиям. Задача следующая: Вероятность того что студент сдаст экзамен по дисциплине $A$ равна 0.8. Условная вероятность того, что студент сдаст экзамен по дисциплине $B$ равна: 0.5 при условии что он сдаст экзамен по дисциплине $A$ и 0.6 при условии если не сдаст экзамен по дисциплтне $A$. Таким образом обозначаются условные вероятности события $B$ (событие $B$ означает что студент сдал экзамен по дисциплине $B$) в книге: $P(B|A)=0.6$ и $P(B|\neg A)=0.5$ Не понимаю это опечатка или нет? Разве не наоборот должно быть ? $P(B|A)=0.5$ и $P(B|\neg A)=0.6$

[Otta]

Опечатка.