Вопрос про номера алефов

[Padawan]

Может ли быть, что |\lambda| = \aleph_\lambda (|l| - мощность порядкового числа l), или это один из вопросов, которые не зависят от аксиом и т.д.?

[Padawan]

Такие \lambda должны быть начальными порядковыми числами (т.е. наименьшими среди всех порядковых чисел данной мощности)
\lambda = \omega_\alpha для некоторого порядкового числа \alpha , более того должно быть выполнено довольно странное соотношение
\omega_\alpha=\omega_{\omega_\alpha} , а это уже напоминает парадокс.
Может имеет смысл число \omega_{\omega_{\omega_{...}}}?
добавлено
Короче, всё сводится к тому, существует ли порядковое число \alpha такое, что
\alpha=\omega_\alpha

[маткиб]

В принципе, такой ординал можно построить следующим образом:
A_0=\omega,
A_{n+1}=\text{минимальный ординал мощности }\aleph_{A_n},
\lambda=\sup A_n.
Тогда для любого n: |A_{n+1}|=\aleph_{A_n},
\aleph_{\lambda}=\sup \aleph_{A_n}=\sup |A_{n+1}|=|\lambda|.
Такое построение можно корректно провести с помощью аксиомы подстановки.
Но чему именно равен этот ординал и какую он имеет мощность, в ZFC определить невозможно. Может быть, континуум...

[yvanko]

а есль ли что нибудь мощнее $\omega_{\omega_{._.}}$

[маткиб]

В принципе, можно A_0 взять абсолютно любым (например, мощности 2^{\omega_{\omega_{\ldots}}}), поэтому удовлетворяющий условию ординал может быть сколь угодно большой мощности.

[yvanko]

а как тогда будет обозначатся его мощность?

[маткиб]

ХЗ

[Padawan]

маткиб писал(а):

В принципе, такой ординал можно построить следующим образом:
A_0=\omega,
A_{n+1}=\text{минимальный ординал мощности }\aleph_{A_n},
\lambda=\sup A_n.
Тогда для любого n: |A_{n+1}|=\aleph_{A_n},
\aleph_{\lambda}=\sup \aleph_{A_n}=\sup |A_{n+1}|=|\lambda|.
Такое построение можно корректно провести с помощью аксиомы подстановки.
Но чему именно равен этот ординал и какую он имеет мощность, в ZFC определить невозможно. Может быть, континуум...

Может всё это и так, надо подумать
Обьясню, откуда возник вопрос.
Кардинал называется регулярным, если он не может быть представлен в виде суммы меньшего числа меньших мощностей. Все алефы вида \aleph_{\alpha+1} -регулярные. В книге Хаусдорф "Теория множеств" написано, что неизвестно, существуют ли регулярные алефы, индексы которых - предельные порядковые числа. В книге Александров "Введение в теорию множеств и общую топологию" по поводу этого написано, что мощность индекса таких алефов должна быть равна им самим ( и это действительно нетрудно видеть).
Прикол в том, что мощность построенного нами ординала \omega_{\omega_{\omega_{...}}} не является регулярной! В частности она не континуум.
P.S. Что-то я сомневаюсь, что \lambda = \omega_\lambda
(\omega_\lambda я обозначаю наименьший ординал мощности \aleph_\lambda)
добавлено
Всё правильно! И |\lambda|=\aleph_\lambda и \lambda=\omega_\lambda!
Не зря Хаусдорф написал, что такие мощности должны быть "ошеломляюще огромны".
yvanko, мы можем обозначить только счётное число обьектов , а мощностей и ординалов ОЧЕНЬ МНОГО

[маткиб]

Не могу понять, почему континуум регулярен и почему \lambda ему не равно. Не дадите ссылочку или доказательство? Видел только более слабое утверждение, что 2^X не может быть представлено в виде суммы \leq X меньших мощностей. В частности, континуум не может быть представлен в виде счетной суммы меньших мощностей.
Или может быть эти утверждения независимы с ZFC?

[маткиб]

Точно, \omega_{\omega_{\ldots}} представим в виде счетной суммы меньших мощностей, поэтому континууму не равен:)
Тем не менее, вопрос о регулярности континуума остаётся.

[Someone]

маткиб писал(а):

Точно, \omega_{\omega_{\ldots}} представим в виде счетной суммы меньших мощностей, поэтому континууму не равен:)
Тем не менее, вопрос о регулярности континуума остаётся.

Регулярность континуума недоказуема в ZFC. Но при дополнительных предположениях типа континуум-гипотезы или аксиомы Мартина континуум регулярен.

[маткиб]

Спасибо.