Туймаада 2016

[SomePupil]

Sergic Primazon, Ваше решение короче авторского на $3.9$ страницы. Поразительно!
DeBill, Ваше, оказывается, решение очень похоже на авторское, но тоже короче.

Итак, осталась только геометрия. Если ответов совсем не будет, то завтра дам подсказку (вообще-то, самостоятельно я решил только первую и ту, что с кубиком. Но у меня под рукой авторские решения! )

[Munin]

DeBill

(Оффтоп)

Меня просто заинтересовало, какими способами будут кататься по циклам или укатываться в туманную даль другие многогранники. С додекаэдром задачу такую тоже можно поставить, разве что только он не будет кататься по сетке.

[DeBill]

Munin
А, я не врубился . С икосаэдром: может, что-то попробовать в духе Sergic Primazon? А то уж больно стремно на нем...

[DeBill]

3. Окружность девяти точек и радикальные оси...
Углы $A_0A_1A_2$ и $A_0B_2A_2$ прямые, так что точки $A_0,A_1,A_2,B_2$ лежат на одной окружности ($\omega_A$).
Аналогично, точки $B_0,B_1,B_2,C_2$ лежат на одной окружности ($\omega_B$), и точки $C_0,C_1,C_2,A_2$ лежат на одной окружности ($\omega_C$).
Но точки $A_0,A_1,B_0,B_1,C_0,C_1$ лежат на окружности девяти точек ($\omega$).
Окружности $\omega,\omega_A$ пересекаются в точках $A_0,A_1$, так что прямая $A_0A_1 = BC$ есть их радикальная ось. Аналогично, прямая $AC$ есть радикальная ось пары $\omega,\omega_B$. Значит, точка $C$ "равноудалена от $\omega_A,\omega_B$" (т.е., лежит на их радикальной оси). Но эти две окр-ти проходят и через точку $B_2$. Значит, прямая $CB_2$ - радикальная ось этой пары.
Аналогично, прямая $AC_2$ есть радикальная ось пары $\omega_B,\omega_C$, а прямая $BA_2$ -радикальная ось пары $\omega_C,\omega_A$ .
Но радикальные оси трех окружностей пересекаются в одной точке ("равноудаленной от всех трех"). ЧТД

[SomePupil]

Всё! Задачи решены.

Вот тут есть результаты этой олимпиады. Как видно, парни со сборной РФ справились почти со всеми заданиями (за $5$ часов). Разве что, одному геометрия не поддалась.

P. S. Те задачи, которые я здесь привел, $-$ это были задачи первого дня.

[Sergic Primazon]

3. Точки $ A_0, A_1, A_2 , B_2$ лежат на окружности $\omega_1 $.
Точки $ B_0, B_1, B_2 , C_2$ лежат на окружности $\omega_2 $.
Точки $ C_0, C_1, C_2 , A_2$ лежат на окружности $\omega_3 $.

$BA_0 \cdot BA_1=BB_0 \cdot BB_1 \Rightarrow CB_2$ - радикальная ось окружностей $\omega_1 $ и $ \omega _2 $.

Аналогично : $AC_2$ - радикальная ось окружностей $\omega_2 $ и $\omega_3 $ , $BA_2$ - радикальная ось окружностей $\omega_3 $ и $\omega_1 $.

Радикальные оси трех окружностей на плоскости пересекаются в одной точке.

Не заметил, что похожее решение уже прислал DeBill

[TOTAL]

Sergic Primazon в сообщении #1140001 писал(а):

2. Не встретились два положения кубика образующих пару.
В этом случае у кубика на плоскости может быть не более $6 $ различных ориентаций ( по $1 $ на каждой из граней). Т.е. не далее чем за $6 $ ходов траектория либо "зациклится" , либо начнет повторяться со смещением (a, b), где $|a|+|b| \le 6 $.

Вообще говоря, такими повторяющимися траекториями можно замести искомый квадрат.