Неразрешимость уравнения (по мотивам «Кванта»)

[Ktina]

(по мотивам одной очень красивой задачи из «Кванта», авторы которой, кажется, А. Авакян и В.А. Сендеров)
Найдите наименьшее натуральное $n$, при котором уравнение

$$nx^2+ny^2+nz^2=t^2$$

неразрешимо в натуральных числах $x, y, z, t.$

[Shadow]

$7$, так как в виде суммы трех квадратов непредставимы числа вида $4^m(8k-1)$, а $7t^2$, увы, при любом $t$ будет иметь такой некрасивы вид.

[Ktina]

Shadow
Действительно,
$1\cdot 3^2+1\cdot 4^2+1\cdot 12^2=13^2$
$2\cdot 1^2+2\cdot 1^2+2\cdot 4^2=6^2$
$3\cdot 1^2+3\cdot 1^2+3\cdot 1^2=3^2$
$4\cdot 3^2+4\cdot 4^2+4\cdot 12^2=26^2$
$5\cdot 5^2+5\cdot 4^2+5\cdot 2^2=15^2$
$6\cdot 2^2+6\cdot 1^2+6\cdot 1^2=6^2$

Доказательство неразрешимости при $n=7$ сейчас напишу...

-- 25.07.2016, 17:07 --

Итак, $7x^2+7y^2+7z^2=t^2$

Если среди чисел $x, y, z$ ровно одно нечётное, то $7x^2+7y^2+7z^2$ даёт остаток 3 или 7 при делении на 8, следовательно, не может быть квадратом.

Если среди чисел $x, y, z$ ровно два нечётных, то $7x^2+7y^2+7z^2$ даёт остаток 6 или 10 при делении на 8, следовательно, не может быть квадратом.

Если среди чисел $x, y, z$ ровно три нечётных, то $7x^2+7y^2+7z^2$ даёт остаток 5 или 5 при делении на 8, следовательно, не может быть квадратом.

Таким образом, все числа $x, y, z$ - чётные. Но тогда можно методом скоростного спуска разделить обе стороны уравнения на 4 и получить новое уравнение, и так до бесконечности. Однако натуральное число не может бесконечно делиться на 4, может только 0, а значит, уравнение имеет единственное целочисленное решение $x=0, y=0, z=0$. Но число 0 - не натуральное.

Отсюда следует, неразрешимость уравнения $7x^2+7y^2+7z^2=t^2$ в натуральных числах, Ч.Т.Д.

-- 25.07.2016, 17:07 --

Или у меня обишка в доказательстве?

-- 25.07.2016, 17:10 --

Задача придумана по мотивам задачи M2003 (пункт в)) из задачника «Кванта» (стр. 19-20):
http://kvant.mccme.ru/pdf/2006-06s.pdf

[Shadow]

Все так, Ktina

Ktina в сообщении #1140069 писал(а):

даёт остаток 6 или 10 при делении на 8

Ktina в сообщении #1140069 писал(а):

даёт остаток 5 или 5 при делении на 8

Тут можно было и акурратнее, но все так.
Также доказывается, что числа $4^m(8k-1)$ непредставимы в виде суммы трех квадратов - сумма трех квадратов делится на 4 только если все они четные, спуск до $8k-1$ и модулю 8.

[Ktina]

Shadow
Спасибо!