Суммирование по Чезаро и Пуассону-Абелю на Компьютере?

[Divergence]

Пожалуйста подскажите публикации (книги и/или статьи на русском и/или английском), в которых описывалась реализация на компьютерах (компьютерная симуляция) вычисления сумм по Чезаро и/или Пуассону-Абелю.

$$\text{Cesaro \ summation:} \ \sum^{\infty}_{n=1} f(n) := \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum^{N}_{k=1} \sum^{k}_{m=1} f(m),$$

$$\text{Poisson-Abel \ summation:} \ \sum^{\infty}_{n=1} f(n) := \lim_{x \to 1-} \sum^{\infty}_{n=1} f(n) \, x^n.$$

Например, на стр. 498. в книге Фихтенгольц Г.М. "Курс дифференциального и интегрального исчисления". Том 2 (Наука, 1969), даны выражения

$$ \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^n n^{2m}=0; \qquad \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^n n^{2m-1}=(-1)^m \, \frac{2^{4m}-1}{2m} \, B_m,$$

где $B_m$ - числа Бернулли, $m \in \mathbb{N}$.

Как эти и аналогичные ответы можно приближенно получать в вычислительной математике?
Наверняка это уже реализовывалось кем-то на компьютерах.
Заранее спасибо.

[arseniiv]

В принципе, если у вас есть достаточно выразительная система компьютерной алгебры (Maxima, Maple, Mathematica etc.), там должно быть можно написать соответствующую функцию. Вычисление пределов и сумм символьно доверить СКА.

[Divergence]

Уже пробовал с наскока Maple для суммирования по Чезаро для проверки выражения $\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^n \, n^2=0$. В Maple написал X:=(1/N)*sum('sum('(-1)^m*m^2','m'=1..k)','k'=1..N);
Получаю расходящиеся значения: Для $N=10,11,12,13,14$ формула дает $X=3,-36/11,7/2,-49/13,4$

Не хочется кустарно делать. Интересно как именно это реализуется по науке (и не символьно, а численно).
Наверняка это уже реализовывалось кем-то на компьютерах и писали статьи.

[arseniiv]

Divergence в сообщении #1139903 писал(а):

Получаю расходящиеся значения: Для $N=10,11,12,13,14$ формула дает $X=3,-36/11,7/2,-49/13,4$

А вы для гарантии в предел-то засуньте это всё. Не верю, что в Maple нет команды для предела.

[Divergence]

В пределе уже засовывал.
Команда есть: limit((1/N)*sum('sum('(-1)^m*m^2','m'=1..k)','k'=1..N),N=infinity);
Результатов нет: "Error, (in type/polynom) invalid argument for indets"

Интересны ссылки на статьи по численным методам для суммирования по Чезаро и Пуассону-Абелю.

[arseniiv]

(Насчёт Maple)

Divergence в сообщении #1139911 писал(а):

Результатов нет: "Error, (in type/polynom) invalid argument for indets"

Неправильные параметры задаёте потому что, гляньте справку.

[Divergence]

Использование команд:
> restart:with(student):Limit((1/N)*sum(sum((-1)^m*m^2,m=1..k),k=1..N),N=infinity);
Результат: lim_{N-> infinity}(-1/8*((-1)^N+9*(-1)^(N+1)*N+2*(-1)^(N+1)+2*N^2*(-1)^N+2*N^3*(-1)^(N+1)+8*N^2*(-1)^(N+1)+4*N*(-1)^N+N+1)/(N+1)/N)

Использование команд:
> restart:with(student):limit((1/N)*sum(sum((-1)^m*m^2,m=1..k),k=1..N),N=infinity);
Результат: undefined

Хотелось бы увидеть явно приближение к нулю, а тут расходящиеся значения:
Формула >L:=-1/8*((-1)^N+9*(-1)^(N+1)*N+2*(-1)^(N+1)+2*N^2*(-1)^N+2*N^3*(-1)^(N+1)+8*N^2*(-1)^(N+1)+4*N*(-1)^N+N+1)/(N+1)/N;
Для $N=10$ дает $L=3$; Для $N=102$ дает $L=26$; $N=202$ дает $L=51$ и так далее.
Для нечетный N - увеличение отрицательных значений по модулю.

Мне все же интересны ссылки на статьи по численным методам для Чезаро и Пуассону-Абеля.

[arseniiv]

Ждём тех, кто знает. Я вот не знаю, и упрашиванием тут не поможешь.

[DeBill]

Divergence в сообщении #1139920 писал(а):

Мне все же интересны ссылки на статьи по численным методам для Чезаро и Пуассону-Абеля.

Я, вообще то, тоже не спец по численным методам. Однако, видится мне, проблема здесь не в специфике расходящихся рядов (и методах их суммирования), а в:
в том, что для вычисления небольших чисел приходится складывать-вычитать большие
(я думаю, что и при вычислени предела посл-ти $a_n = n^n +1 - n^n$ комп либо обломается, либо выдаст неправильный рез-т 0). Так что единственное, что приходит в голову - это, скажем, для Чезаро-1,
заставить комп (в режиме символьных вычислений) упростить предварительно формулы - чтобы массовые сокращения уже случились - и только тогда запускать счет предела. Но уже для Чезаро-2, боюсь, комп не справится...

[Divergence]

$n^n$ не интересно.
Для начала хотелось бы посмотреть на численный метод получения нуля

$$ \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^n n^{2m}=0.$$

Вычисления этой суммы по Пуассону-Абелю, используя lim(sum((-x)^n*n^2,n=1..infinity),x=1),
wolframalpha.com дает правильный ответ
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim(sum((-x)%5En*n%5E2,n%3D1..infinity),x%3D1)
Хотя не уверен, что там вычисление связано с численными методами.

[DeBill]

Divergence
А, я был невнимателен: все правильно для $m=1$ комп Вам выдал. Все таки здесь - конкретно - сыграла расходимость.

Divergence в сообщении #1139896 писал(а):

$$\text{Cesaro \ summation:} \ \sum^{\infty}_{n=1} f(n) := \lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum^{N}_{k=1} \sum^{k}_{m=1} f(m),$$

Это - Чезаро-1.
Идея метода Чезаро состоит в след-м: считаем послед-ть частичных сумм $S_n$ нашего ряда.
Если у нее есть предел (ряд сошелся ) -получили ответ. Если предела нет: заменяем эту посл-ть на посл-ть средних $S_n^1 = \frac{S_1+ ... +S_n}{n}$. Если у нее есть предел - получили ответ (по Чезаро-1). Если нет - повторяем процедуру, и т.д..
Так вот, для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n$ работает Ч-1. Для ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot n$ - работает Ч-2. А для Вашего ряда нужен Ч-3....
Соотв-нно, для ряда из начала первого поста, нужен Чезаро-$(2m+1)$...

-- 25.07.2016, 03:20 --

Divergence в сообщении #1139903 писал(а):

Получаю расходящиеся значения: Для $N=10,11,12,13,14$ формула дает $X=3,-36/11,7/2,-49/13,4$

Вот здесь это хорошо видно: числа болтаются вокруг нуля, возрастая по модулю. Применение метода еще один раз (только усреднять надо уже ЭТУ посл-ть: в Вашей формуле для Чезаро, внутренняя сумма выдает посл-ть частичных сумм, внешняя - ее усредняет) сделает послед-ть просто болтающейся, а еще одно - выдаст среднее, вокруг которого и происходит болтание.

[Divergence]

Чезаро-2 не дает правильного ответа для $ \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^n \, n$.

Используя > M:=30;X:=(1/M)*sum('sum('(1/N)*sum('sum('(-1)^m*m','m'=1..k)','k'=1..N)','N'=1..l)','l'=1..M);evalf(");
Получаю
M=10,X=-2.233015873
M=30,X=-4.956867528
M=70 X=-10.14943335

Правильный ответ: 15/4=3.75.

Чезаро-2 и Чезаро-3 для $ \sum^{\infty}_{n=1} (-1)^n \, n^2=0$ тоже дают увеличивающиеся по модулю отрицательные числа.

Неужто нет статей по численным методам для Чезаро и Пуассону-Абеля?

[DeBill]

Вообще, метод Чезаро - один из так называемых маиричных методов (переработки "болтающихся" последовательностей - в "почти стационарные"). Метод таков: запишем нашу посл-ть в (бесконечный ) столбик. Умножим на матрицу $T$ - получим новую посл-ть. Есть достаточно простые критерии, гарантирующие, что новая будет лучше старой. (см., напр., Харди "Расходящиеся ряды")
Для Чезаро-1: Матрица $T$- такая: в $n$-й строке на первых $n$ местах стоят $\frac{1}{n}$, далее - нули. Чезаро-$m$ имеет матрицу $T^m$; чтобы не нервировать железного дурака, можно ручками сосчитать все ее элементы...
Но программно, конечно, проще записать процедуру усреднения, и применить ее нужное кол-во раз.

-- 25.07.2016, 03:52 --

Divergence
Вы невнимательно прочитали мое замечание.

DeBill в сообщении #1139975 писал(а):

Применение метода еще один раз (только усреднять надо уже ЭТУ посл-ть: в Вашей формуле для Чезаро, внутренняя сумма выдает посл-ть частичных сумм, внешняя - ее усредняет)

Не надо "вторую снаружи" сумму в Вашем операторе.
Еще раз: находим посл-ть частичных сумм ряда. Усредняем ее. Усредняем ее. Это и будет Чезаро-2 (тройная сумма).

-- 25.07.2016, 03:59 --

Метод Чезаро - для ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ (в частности, посл-тей частичных сумм ряда): он перерабатывает ПОСЛ-ТЬ в ПОСЛ-ТЬ. (но не ряд в ряд).

[Divergence]

Спасибо за пояснения.
Да, для $m^2$ три усреднения, и сумма уменьшается с уменьшением верхнего предела.

Суммирование по Черазо - кажется очень громоздким, если нужно Чезаро-$(2m+1)$.
В этом случае непонятно сколько нужно усреднений заранее для $f(m)$.

А как насчет суммирования по Пуассону-Абелю? Он вроде более общий, чем Чезаро.

И неужто нет статей по численным методам для Чезаро и Пуассону-Абеля и никто о них не слышал?

[arseniiv]

Divergence в сообщении #1140009 писал(а):

И неужто нет статей по численным методам для Чезаро и Пуассону-Абеля и никто о них не слышал?

Имейте же терпение. Некоторые участники редко заходят на форум.

Divergence в сообщении #1139974 писал(а):

Хотя не уверен, что там вычисление связано с численными методами.

Просто интересно: зачем вам именно численные, если символьные вычисления при прочих равных гарантированно точнее?