Вероятностная задача на нормальность

[ProPupil]

Надеюсь, откопал неплохую задачу по сложности.

Пусть $\{\xi_n\}_{n=1}^\infty$ - последовательность стандартных нормальных случайных величин и пусть $\{\sigma_n\}_{n=1}^\infty$ - набор положительных чисел.

Докажите, что если при некотором $\lambda > 0$ ряд

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \exp\left\{-\frac{\lambda}{\sigma_n^2}\right\}$$

сходится, то последовательность $\{\sigma_n \xi_n\}_{n=1}^\infty$ ограничена почти наверное и при $\varepsilon < \frac{1}{2\sup\limits_n \sigma_n^2}$ существует конечное математическое ожидание

$$M\exp\{\varepsilon \cdot \sup\limits_n |\sigma_n\xi_n|^2\}.$$

.

[DeBill]

ProPupil
Независимых?
Странное условие: чем быстрее растет числовая посл-ть, тем легше сходимость ряда, и тем хуже с ограниченностью.
И: ряд сходится - супремум равен бесконечности - епсилон равно нулю....
А, нет - оно отрицательно и произвольно, да?

-- 23.07.2016, 11:31 --

Ой, тогда что же будет - в последней экспоненте???
Может, так: супремум - по первым $n$, и эпсилон - положительно, но зависит от $n$?

[dsge]

$\sigma_n$ должна стремиться к нулю, чтобы сумма

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \exp\left\{-\frac{\lambda}{\sigma_n^2}\right\}$$

сходилась.

ProPupil в сообщении #1139600 писал(а):

то последовательность $\{\sigma_n \xi_n\}_{n=1}^\infty$ ограничена почти наверное

Где ограничена?
Если $\sigma_n$ должна стремиться к нулю, то все $\{\sigma_n \xi_n\}_{n=1}^\infty$ являются нормально распределенными и, следовательно, ограничены в $L_2$.

[ProPupil]

DeBill в сообщении #1139611 писал(а):

ProPupil
Независимых?

Независимость не предполагается.

Цитата:

Где ограничена?

Ограниченность понимается в следующем смысле: $P\{\omega: \sup\limits_n (\sigma_n\xi_n(\omega)) < \infty\}=1$.

[DeBill]

dsge в сообщении #1139621 писал(а):

$\sigma_n$ должна стремиться к нулю, чтобы сумма

Упс. Ну конечно, чё это я...

-- 23.07.2016, 17:47 --

Ну, для независимых - можно, используя асимптотику для (остатка) интеграла Лопласа.
А вот в общем случае?

[ProPupil]

В общем случае можно через следствие из леммы Бореля-Кантелли

[ProPupil]

Подсказка: ограниченность легко получается.

Пусть $\xi$ --- стандартная нормальная случайная величина. Тогда можно показать, что $P\{|\xi| > t\} \leq \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{t}e^{-\frac{t^2}{2}}.$

Если для некоторого $\lambda > 0$ ряд из условия сходится, то, начиная с некоторого $n$ $P\{|\sigma_n \xi_n| > \sqrt{\lambda}\} \leq \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\lambda^2}{\sigma_n^2}}$ (c того $n$, начиная с которого $\sigma_n < \lambda$)

Поэтому ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty P\{|\sigma_n\xi_n| > \sqrt{\lambda}\}$ сходится.

Обозначим через $A_n = \{|\sigma_n\xi_n| > \sqrt{\lambda}\}$.

По лемме Бореля-Кантелли $P\{\varlimsup\limits_{n \to \infty} A_n\} = 0$, и

$P\{\sup\limits_n |\sigma_n\xi_n| < \infty\} \geq P\{\varliminf\limits_n cA_n\}=1-P\{\varlimsup\limits_{n \to \infty} A_n\}=1.$