Уравнение (x^4+y^4)/(m^4+n^4)=z^2

[scwec]

Рассматривается уравнение $\dfrac{x^4+y^4}{m^4+n^4}=z^2$, где $m,n$ заданные натуральные числа $m\ne{n}$.
Найдите хотя бы одно нетривиальное решение $(x,y,z)$ этого уравнения в натуральных числах.

[mihiv]

$x=km, y=kn, z=k^2$, где $k$ - произвольное натуральное число. Хотя, возможно, это нужно считать тривиальным решением.

[scwec]

Конечно, это тривиальное решение.
Имеются в виду решения, для которых $\frac{x}{m}\ne\frac{y}{n}$ и $\frac{x}{n}\ne\frac{y}{m}$.

[Shadow]

$\\x=m(m^8-6m^4n^4-3n^8)\\ y=n(n^8-6n^4m^4-3m^8)\\ z=16m^4n^4(n^4-m^4)^2+(m^8+6m^4n^4+n^8)^2$

[scwec]

Решение совершенно верное.
Задача взята мною из книги Р. Кармайкла "Diophantine Analyses".
Кармайкл рассматривает там уравнение $\dfrac{x^4+ky^4}{m^4+kn^4}=z^2\qquad(1)$
и находит элементарным способом одно решение, которое для $k=1$ совпадает с решением, приведенным Shadow.
Если встать на другую точку зрения и рассматривать уравнение $\dfrac{X^4+k}{M^4+k}=z^2\qquad(2)$, где $M,k$ рациональные числа,
$k\ne{M^4}$, то оказывается, что оно бирационально эквивалентно уравнению эллиптической кривой $w^2=u^3-4k(M^4+k)^2{u}\qquad(3)$.
На кривой $(3)$ имеется рациональная точка бесконечного порядка $P=(u,w)=(-4kM^2,4Mk(k-M^4))$,
а вместе с ней и бесконечное количество рациональных точек $(2P,3P,4P...)$ на этой кривой.
Каждая из них дает рациональное решение для уравнений $(3),(2)$, а, сл-но, и целое решение для уравнения $(1)$ при целых $k$.
Приведенное здесь решение соответствует точке $2P$ для $k=1$.