Закон Паскаля

[Anton_Peplov]

Что-то я стал забывать программу для седьмого класса.

Задача. На столе стоит сосуд в виде прямой треугольной призмы, как показано на рисунке. Грань со сторонами $A$ и $L$ - дно, расположенное горизонтально, треугольник со сторонами $A$ и $H$ (основание призмы) - прямоугольный. Сосуд полностью заполнен водой. Найти силу, действующую на произвольную точку дна со стороны воды.

Решение. Будем отсчитывать координату $x$ вдоль стороны $A$ от острого угла к прямому, как показано на рисунке. Разобьем сосуд плоскостями, параллельными вертикальной боковой грани призмы, на полоски длиной $L$ и шириной $dx$. Обозначим $dp$ давление, создаваемое весом полоски с координатой $x$. По закону Паскаля давление на дно во всех точках дна будет одинаковым и будет равно сумме всех $dp$ - точнее, интегралу $p = \int_0^A \frac{dp}{dx}dx$. Это связано с тем, что давление, оказываемое весом элементарных полосок, свободно передается в горизонтальном придонном слое жидкости. В результате давление в каждой точке дна будет суммой всех таких элементарных давлений. Итак, чтобы найти силу, действующую на произвольную точку дна со стороны воды, нужно найти суммарное давление $p$ и умножить на площадь дна. После элементарных расчетов получаем, что $F = \rho g HAL$, что ровно вдвое больше суммарного веса жидкости.

Все правильно?

[zvm]

Сила, действующая на произвольную точку дна со стороны воды, равна нулю. Так как ее площадь равна нулю.

[Mihr]

Имхо, немного вычурно, но результат правильный. Только не забывайте, что вода давит ещё и влево, вперёд, назад, а также наклонно вверх (на правую, наклонную, грань). Суммарная сила давления со стороны воды на все грани сосуда всё равно совпадает с весом воды $mg$.

P.S. По поводу точки верно замечено.

[Anton_Peplov]

Хм. Да, по поводу точки замечено верно. Сила, которую я нашел - это сила, действующая на дно в целом. Сила, действующая на участок дна площадью $s$, будет равна $ps$, где $p$ - только что вычисленное давление. Мне нужно быть внимательнее в формулировках.

Mihr в сообщении #1139267 писал(а):

Суммарная сила давления со стороны воды на все грани сосуда всё равно совпадает с весом воды $mg$.

Ну, это из законов Ньютона вроде как следует:) Вода остается неподвижной за счет того, что сила упругости стекла компенсирует силу тяжести, равную весу воды. Мой вопрос был, однако, только про дно.

[SomePupil]

(Оффтоп)

$\rho ghS -$ сила, с которой жидкость плотностью $\rho$ в сосуде произвольной формы с максимальной высотой $h$ и площадью дна $S$ давит на дно. Разве не так?

[AnatolyBa]

А почему возник вопрос? Вы видите какую то парадоксальность в том что даление на дно больше веса жидкости?
В гидравлическом прессе ситуация, казалось бы, еще более удивительная, а ведь работает.

[Anton_Peplov]

AnatolyBa в сообщении #1139277 писал(а):

А почему возник вопрос?

Знакомый школьник попросил помочь с физикой. И тут я понял, что ни рожна не помню про давление в жидкостях. В школе я это проходил, но это было очень давно и с тех пор ни разу не обновлялось.

[Pphantom]

Это довольно известный "парадокс", который обычно кажется неестественным. Но, с другой стороны, именно поэтому работает такое полезное устройство как водонапорная башня.

[DimaM]

Anton_Peplov в сообщении #1139260 писал(а):

После элементарных расчетов получаем, что $F = \rho g HAL$, что ровно вдвое больше суммарного веса жидкости.

Так получается, вообще говоря, только если верхняя точка сообщается с вакуумом. Иначе нужно добавить $P_0AL$, где $P_0$ - давление в верхней точке (например, атмосферное).

[Anton_Peplov]

Ну это понятно:)

[svv]

Как хитро: если суммарная сила давления воды на дно больше $m_\text{воды}g$, значит, где-то сила и вверх давит. Т.е. вертикальная составляющая $p\mathbf n$ (где $\mathbf n$ нормаль, внешняя к замкнутой поверхности раздела вода-невода) где-то направлена вверх.

[Anton_Peplov]

Да, в этом и есть разрешение этого "парадокса". В том, чтобы помнить, что сила - величина векторная:)

[Munin]

Задача некорректна, поскольку не указано, каково давление воды вверху сосуда. Если там открытая поверхность воды - ответ такой, как написано (хотя открытая поверхность с нулевой площадью... хм...). Но призма может быть запаяна, и вода там может быть под любым давлением: и повышенным, и пониженным.

[Mihr]

Munin в сообщении #1139417 писал(а):

Задача некорректна

Я всё же думаю: для семиклассников по чисто методическим соображениям такая постановка задачи оправдана. Цель: напомнить лишний раз, что давление жидкости на дно сосуда не зависит от его формы, а определяется лишь высотой столба жидкости (и её плотностью). Кроме того, напомнить семикласснику, как связана сила с давлением.
Как стандартная тренировочная задача она имеет право на существование.

[Munin]

Ага. При том, что столба-то в условиях и не указано