Задача о тянущейся веревке

[Turtur]

Всем привет! У меня есть некотрых вопрос по такой, пожалуй, классическое задачи:

Цитата:

Один конец тонкой гибкой верёвки с линейной плотностью $\rho$ тянут с постоянной горизонтальной скоростью на высоте $H$ над шероховатой поверхностью. Второй конец верёвки свободен и лежит на поверхности. Длина части верёвки, соприкасающейся с поверхностью, равна $l_1$. Найдите длину верёвки $l_2$, не касающейся поверхности. Коэффициент трения скольжения верёвки по поверхности равен $k$. (см. рис. слева)

Рассмотрим маленький кусочек верёвки, находящейся в воздухе. (рис. справа) Тогда по II з-ну Ньютона в проекции на тангенциальное направление выполняется: $ T+dT=T+\rho g dl\sin\alpha$. (1). Проинтегрируем обе части равенства от нуля до $l_2$ по $dl$. Тогда получится, что разность силы натяжения в самой высокой и самой низкой части висящего куска веревки отличаются на величину $\rho gl_2\cos\alpha$.
В авторском решении задачи из (1) следует буквально, что та самая разность силы натяжения в самой высоко и самой низкой части висящего куска веревки отличаются на величину $\rho gH$, то есть зависит от синуса угла. Выходит, проинтегрировала неправильно? Почему? Да и разве можно утверждать, что $\sin\alpha=\frac{H}{l_2}$, ведь верёвка именно провисает, а значит угол между касательной и висящей частью веревки будет меньше $\alpha$.

Pphantom:

Поправил опечатку в заголовке темы.

[Mihr]

Turtur в сообщении #1138405 писал(а):

Тогда по II з-ну Ньютона выполняется: $ T+dT=T+\rhogdl\sin\alpha$. (1).

Что-то непонятное... Это даже по размерности неверно.

[Turtur]

Mihr Всё, исправила, спасибо. Сейчас, вроде, всё верно.

[Mihr]

Turtur, мне кажется, множитель $\sin\alpha$ у Вас стоит не там, где надо. Если спроектировать все силы на вертикальное направление, должно получиться $dT\cdot\sin\alpha=\rho gdl$. Или, может быть, я просто не понимаю Ваши идеи.

[Turtur]

Mihr Проецирую на касательное направление ведь, оно же тангенциальное. На рис. справа это соответствует направлению жирно линии.

[AnatolyBa]

Turtur в сообщении #1138405 писал(а):

Проинтегрируем обе части равенства от нуля до $l_2$ по $dl$

А как вы интегрируете? $\alpha$ переменная с непонятной зависимостью от $l$. И что тогда за косинус в вашем результате?
Может быть проинтегрировать по какой-то другой переменной?

[Turtur]

AnatolyBa Я, наверное, вообще тупой вопрос задаю, но всё же, мне непонятно: функция угла $\alpha$ непрерывно зависит отдлины верёвки от нуля до $l_2$, так почему бы по т. Ньютона-Лейбница не взять определенный интеграл? Дальше уже нужное значение косинуса находится из II з-на Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси. Получается,правда, громоздко, но ответ не сходится с авторским.
Да и почему всё-таки синус должен быть равен отношению $H$ к $l_2$?
Если интриговать по друго переменно, то я, честно сказать, не представляю и по какой даже. Вижу единственную связь между углом и длиной нити, да и есть ли другие?

[Turtur]

Как бы это убого ни звучало, разобралась, почему всё-таки синус равен отношению $h$ и $l_2$.
Но почему я не умею интегрировать, мне до сих пор неясно :)

[Mihr]

Turtur в сообщении #1138422 писал(а):

Проецирую на касательное направление ведь, оно же тангенциальное.

Да, извините за невнимательность.
И покажите, пожалуйста, как именно Вы интегрируете. Пока Вы просто говорите "у меня получилось так-то", ошибку обнаружить нельзя. Как я понимаю, для интегрирования Вы должны предварительно установить вид функции $\alpha (l)$. И, конечно, в этом случае косинус у Вас не получится. Косинус мог бы получиться, если бы Вы интегрировали по $\alpha$ (и, кроме синуса, других множителей, зависящих от $\alpha$, не было бы).
Скажите ещё, пожалуйста, какой ответ приводит автор? (Я для себя набросал решение задачи, и мне интересно сравнить свой ответ с авторским).

[AnatolyBa]

Turtur в сообщении #1138439 писал(а):

Как бы это убого ни звучало, разобралась

Так вы разобрались в задаче или нет?
Интересная задача на мой взгляд. У меня получилось $l_2=\sqrt{H^2+2 l_1 H k}$

[Turtur]

Не знаю, чем вчера все это решала - в голове все время держала выражение $dm$ через $d\alpha $, которе получила ещё в другой задаче >< Отсюда весь бред, поэтому извиняюсь. Сейчас всё понятно, ура
Mihr, AnatolyBa, спасибо большое за помощь! Ответ $l_2=\sqrt{H^2+2 l_1 H k}$ правильный. Если что, это задача с олимпиады «Туймаада», там много ещё интересных.

[Viktor92]

Заинтересовала задача, смог найти явную зависимость натяжения $T=\rho gy+T_0$, где $T_0$ натяжение вызванное силой трения, я как бы перешел к статической задаче и пытаюсь найти явное уравнение формы провиса веревки $y(x)$, чтобы потом стандартной формулой найти длину, но пока ничего не вышло, намекните пожалуйста я на правильном пути или нет?

[Mihr]

Viktor92 в сообщении #1138904 писал(а):

смог найти явную зависимость натяжения $T=\rho gy+T_0$

Значение $T$ найдено правильно.
Я тоже сначала вывел формулу, описывающую форму верёвки, и лишь затем нашёл её длину. Такой путь ведёт к результату. В этом смысле Вы на правильном пути, но не на самом рациональном (как и я парочкой дней раньше). Авторское решение оказалось намного короче и изящнее.

[Viktor92]

Я пока попытаюсь добить задачу сам, но на всякий случай, авторское решение не подскажите где можно найти?

[Mihr]

Viktor92, вот, например, здесь (задача 1.20):
http://files.school-collection.edu.ru/d ... -olimp.pdf