Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.

[SurovM]

Здравствуйте. Пусть задано множество точек на плоскости

$$\gamma = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \, | \, \, F(x,y) = 0 \} \text{,}$$

где $F$ -- гладкая функция.
Вопрос: при каких ограничениях на $F$ это множество топологически эквивалентно окружности?

$\gamma$ является множеством точек пересечения поверхности $z = F(x,y)$ и плоскости $xy$. Тогда (если исключить вырожденный случай, когда поверхность касается плоскости или не пересекается с ней) достаточно потребовать выпуклость поверхности:

$$\operatorname{Hess} F(x,y) > 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$

Тем не менее, данное условие слишком сильное, не является необходимым. Например, кривая в полярных координатах $r = 2 + \cos(8\varphi)$ гомеоморфна окружности, но гессиан функции $F(x,y) = x^{2} + y^{2} - \left(\cos{8 \arctg{\left (\frac{y}{x} \right )} } + 2\right)^{2}$ не является положительно определённым..

[svv]

Необходимое условие: функция должна быть ограниченной (сверху, снизу, или и сверху и снизу).

[iifat]

svv в сообщении #1137987 писал(а):

Необходимое условие: функция должна быть ограниченной

Не понял. $F(x,y)=\log\frac{x^2+y^2}4$

[svv]

Не является гладкой в нуле.

[SurovM]

svv, верно. Правда, хотелось бы знать какие-то более содержательные критерии. Вряд ли существует общее решение этой задачи (указать необходимые и достаточные условия), но можно охватить какие-то частные примеры.

Допустим, функция $F(x,y)$ имеет минимум в точке $(x_0, y_0)$. Введём полярные координаты $(r,\theta)$:

$$x = x_0 + r \sin {\theta}$$

$$y = y_0 + r \cos {\theta}$$

Похоже, условие

$$F_r(r, \theta) > 0 \quad \forall r > 0, \quad \forall \theta \in \mathbb{R} $$

является достаточным. Верно?

[kp9r4d]

Для локальной евклидовости достаточно, чтобы производные или по $x$ или по $y$ не были равны нулю в тех точках, в которых функция равна нулю (это прямое следствие теоремы о неявной функции).

[SurovM]

kp9r4d, на сколько я понимаю, это условие, опять же, не является достаточным.

[kp9r4d]

SurovM
Ну для локальной евклидовости - являются. Если помимо этого потребовать связность и ограниченность множества нулей, то получатся как раз окружности. Это всё почти что тавтология, конечно, но всё равно.

[Alex_J]

Проверять на отстутствие пересечений. Как вариант, через параметрический вид. Т.е. $\mathbf{r}(t_1)=\mathbf{r}(t_2)$ только при $t_1=t_2+Tk$, $k=0,1,2,...$, $T$ - период.

[kp9r4d]

Alex_J
Как раз для того, чтобы не было пересечений достаточно потребовать $F(x,y) = 0 \to (F'_{x} (x, y) \neq 0 \vee F'_y (x, y) \neq 0)$ что зачастую очень просто проверяется. Основная трудность - это отличить ситуацию "окружность" от ситуации "много окружностей и много прямых".