2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение14.07.2016, 18:44 


07/06/16
25
Здравствуйте. Пусть задано множество точек на плоскости
$$\gamma = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \, | \, \,  F(x,y) = 0 \} \text{,}$$
где $F$ -- гладкая функция.
Вопрос: при каких ограничениях на $F$ это множество топологически эквивалентно окружности?

$\gamma$ является множеством точек пересечения поверхности $z = F(x,y)$ и плоскости $xy$. Тогда (если исключить вырожденный случай, когда поверхность касается плоскости или не пересекается с ней) достаточно потребовать выпуклость поверхности:
$$\operatorname{Hess} F(x,y) > 0 \quad \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$$
Тем не менее, данное условие слишком сильное, не является необходимым. Например, кривая в полярных координатах $r = 2 + \cos(8\varphi)$ гомеоморфна окружности, но гессиан функции $F(x,y) = x^{2} + y^{2} - \left(\cos{8 \arctg{\left (\frac{y}{x} \right )} } + 2\right)^{2}$ не является положительно определённым..

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение15.07.2016, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Необходимое условие: функция должна быть ограниченной (сверху, снизу, или и сверху и снизу).

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение15.07.2016, 15:51 
Заслуженный участник


16/02/13
4195
Владивосток
svv в сообщении #1137987 писал(а):
Необходимое условие: функция должна быть ограниченной
Не понял. $F(x,y)=\log\frac{x^2+y^2}4$

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение15.07.2016, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10908
Crna Gora
Не является гладкой в нуле.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение15.07.2016, 20:04 


07/06/16
25
svv, верно. Правда, хотелось бы знать какие-то более содержательные критерии. Вряд ли существует общее решение этой задачи (указать необходимые и достаточные условия), но можно охватить какие-то частные примеры.

Допустим, функция $F(x,y)$ имеет минимум в точке $(x_0, y_0)$. Введём полярные координаты $(r,\theta)$:
$$x = x_0 + r \sin {\theta}$$ $$y = y_0 + r \cos {\theta}$$
Похоже, условие
$$F_r(r, \theta) > 0 \quad \forall r > 0, \quad \forall \theta \in \mathbb{R} $$
является достаточным. Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение15.07.2016, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Для локальной евклидовости достаточно, чтобы производные или по $x$ или по $y$ не были равны нулю в тех точках, в которых функция равна нулю (это прямое следствие теоремы о неявной функции).

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение15.07.2016, 20:35 


07/06/16
25
kp9r4d, на сколько я понимаю, это условие, опять же, не является достаточным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение15.07.2016, 20:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
SurovM
Ну для локальной евклидовости - являются. Если помимо этого потребовать связность и ограниченность множества нулей, то получатся как раз окружности. Это всё почти что тавтология, конечно, но всё равно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение16.07.2016, 17:21 
Аватара пользователя


14/08/12
309
Проверять на отстутствие пересечений. Как вариант, через параметрический вид. Т.е. $\mathbf{r}(t_1)=\mathbf{r}(t_2)$ только при $t_1=t_2+Tk$, $k=0,1,2,...$, $T$ - период.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замкнутая кривая на плоскости, заданная неявной функцией.
Сообщение16.07.2016, 20:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Alex_J
Как раз для того, чтобы не было пересечений достаточно потребовать $F(x,y) = 0 \to (F'_{x} (x, y) \neq 0 \vee F'_y (x, y) \neq 0)$ что зачастую очень просто проверяется. Основная трудность - это отличить ситуацию "окружность" от ситуации "много окружностей и много прямых".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group