Задача по динамике, или Заблудился в 3х соснах.

[Solaris86]

Вроде обычная задача по кинематике, и опять полное отсутствие глубинного понимания с моей стороны.
Вот задача. Через неподвижный блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, на которую подвешены грузы массами 2 и 3 килограмма. Трением пренебречь, ускорение свободного падения принять равным $10 \frac {\text{м}}{\text{с}^2}$ Найти силу натяжения нити.

Дано:
$m_1 = 2 \text{кг}$
$m_2 = 3 \text{кг}$
$g = 10 \frac {\text{м}}{\text{с}^2}$

Haйти T.

Решение
В векторном виде:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \vec T + m_1 \cdot \vec g = m_1 \cdot \vec a\\ \vec T + m_2 \cdot \vec g = m_2 \cdot \vec a\\ \end{array} \right.$$

В скалярном виде по оси ОХ:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} T - m_1 \cdot g = m_1 \cdot a\\ T - m_2 \cdot g = - m_2 \cdot a\\ \end{array} \right.$$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} T = m_1 \cdot g + m_1 \cdot a\\ T = m_2 \cdot g - m_2 \cdot a\\ \end{array} \right.$$

$m_1 \cdot g + m_1 \cdot a= m_2 \cdot g - m_2 \cdot a$
$m_2 \cdot a + m_1 \cdot a= m_2 \cdot g - m_1 \cdot g$
$a \cdot (m_2 + m_1) = g \cdot (m_2 - m_1)$
$a = g \cdot (\frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1})$
Для пущей надёжности найду Т по двум выражениям:
$1. T = m_1 \cdot g + m_1 \cdot a = m_1 \cdot g + m_1 \cdot g \cdot (\frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = m_1 \cdot g \cdot (1 + \frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = 2 \cdot 10 \cdot (1 + \frac {3 - 2}{3 + 2}) = 20 \cdot (1 + \frac{1}{5}) = 20 \cdot \frac {6}{5} = \frac {120}{5} = 24 (\text {Н})$
$2. T = m_2 \cdot g - m_2 \cdot a = m_2 \cdot g - m_2 \cdot g \cdot (\frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = m_2 \cdot g \cdot (1 - \frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = 3 \cdot 10 \cdot (1 - \frac {3 - 2}{3 + 2}) = 30 \cdot (1 - \frac{1}{5}) = 30 \cdot \frac {4}{5} = \frac {120}{5} = 24 (\text {Н})$

Вроде всё получилось. Если я задачу решил верно, то вот что непонятно.
1. Если решать задачу на дурака без составления системы уравнений, то получается так: сила тяжести первого груза: $m_1 \cdot g = 2 \cdot 10 = 20 (\text {Н})$, сила тяжести второго груза: $m_2 \cdot g = 3 \cdot 10 = 30 (\text {Н})$. Видно, что равнодействующая будет: $R = m_2 \cdot g - m_1 \cdot g = g \cdot (m_2 - m_1) = 10 \cdot (3 - 2) = 10 (\text {Н})$, поэтому система из двух тел нити под действием этой силы начнёт двигаться с ускорением: первое тело с отрезком нити до блока вверх, второе тело с отрезком нити до блока вниз. Тут вроде всё ясно.
2. Вопрос встаёт про значения силы натяжения нити и равнодействующей для каждого тела...
Вариант 1.
Чисто интуитивно хочется поделить равнодействующую поровну и тогда сила натяжения нити будет:
$T = 20 + 5 = 25 (\text{Н})$ - у первого тела
$T = 30 - 5 = 25 (\text{Н})$ - у первого тела
Но тогда получается, что тела будут двигаться с разным ускорением:
$a = 5 : 2 = 2.5 (\frac {\text{м}}{\text{с}^2})$ - у первого тела
$a = 5 : 3 = 1.(6) (\frac {\text{м}}{\text{с}^2})$ - у второго тела
Вариант 2.
Найти равнодействующую, исходя из полученных значений для силы натяжения:
$R = 24 - 20 = 4 (\text{Н})$ - у первого тела
$R = 30 - 24 = 6 (\text{Н})$ - у второго тела
Тогда ускорения будут одинаковыми:
$a = 4 : 2 = 2 (\frac {\text{м}}{\text{с}^2})$ - у первого тела
$a = 6 : 3 = 2 (\frac {\text{м}}{\text{с}^2})$ - у второго тела
Но тут неясно, как одно тело может толкать сила одной величины, а второе - другой величины, ведь оба тела находятся в одной связке?
Вариант 3.
Силы натяжения нити у каждого тела разные и равнодействующие разные... Почему силы натяжения вообще должны быть равны, если массы у тел разные?
Помогите разобраться.

-- 14.07.2016, 00:21 --

Ой... Задаче по динамике, а не кинематике... Уважаемые модераторы, исправьте, пожалуйста, название, чтобы не вводить форумчан в заблуждение, а то я не могу этого сделать. Спасибо!

[svv]

Solaris86 в сообщении #1137702 писал(а):

Для пущей надёжности найду Т по двум выражениям:
$1. T = m_1 \cdot g + m_1 \cdot a = m_1 \cdot g + m_1 \cdot g \cdot (\frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = m_1 \cdot g \cdot (1 + \frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = 2 \cdot 10 \cdot (1 + \frac {3 - 2}{3 + 2}) = 20 \cdot (1 + \frac{1}{5}) = 20 \cdot \frac {6}{5} = \frac {120}{5} = 24 (\text {Н})$
$2. T = m_2 \cdot g - m_2 \cdot a = m_2 \cdot g - m_2 \cdot g \cdot (\frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = m_2 \cdot g \cdot (1 - \frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = 3 \cdot 10 \cdot (1 - \frac {3 - 2}{3 + 2}) = 30 \cdot (1 - \frac{1}{5}) = 30 \cdot \frac {4}{5} = \frac {120}{5} = 24 (\text {Н})$

Хорошо, что у Вас сошлось. Можно ещё вывести формулу, выражающую $T$ через массы и $g$. Вы, собственно, почти вывели её, получив два выражения:
$m_1 g (1 + \frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1})$ и $m_2 g (1 - \frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1})$
Попробуйте эти выражения привести к простой, красивой, страшно симметричной (относительно перестановки $m_1$ и $m_2$) форме.

-- Чт июл 14, 2016 00:56:24 --

Solaris86 в сообщении #1137702 писал(а):

Но тут неясно, как одно тело может толкать сила одной величины, а второе - другой величины, ведь оба тела находятся в одной связке?

Раз в одной связке, то ускорения равны (по модулю). Из физики мы помним что-то вроде $F=ma$, но раз массы разные, то и силы разные.

-- Чт июл 14, 2016 01:00:09 --

Solaris86 в сообщении #1137702 писал(а):

Почему силы натяжения вообще должны быть равны, если массы у тел разные?

Раз массы разные, то при равных ускорениях силы должны быть разные (пропорционально массам), но какие силы? Конечно, равнодействующие. А равенство сил натяжения получается из (и при) невесомости нити.

[Geen]

Solaris86 в сообщении #1137702 писал(а):

Силы натяжения нити у каждого тела разные и равнодействующие разные...

Нить то невесомая - если силы не равны она улетит ... далеко.

Solaris86 в сообщении #1137702 писал(а):

Если я задачу решил верно, то вот что непонятно.

"Забудьте про силу тяжести" - поверните концы нити в горизонтальную плоскость, но с сохранением сил, приложенных к грузам.

[Solaris86]

svv в сообщении #1137713 писал(а):

Попробуйте эти выражения привести к простой, красивой, страшно симметричной (относительно перестановки $m_1$ и $m_2$) форме.

Намёк понял)))
$T^2 = m_1 \cdot m_2 \cdot g^2 (1 - (\frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1})^2)$
Отсюда
$T= \sqrt {m_1 \cdot m_2 \cdot g^2 (1 - (\frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1})^2)}$
Это имелось в виду?
И что я должен увидеть в этой формуле?

[Pphantom]

Поправил название.

[svv]

Solaris86
Нет. Приведите к общему знаменателю 1 и дробь.
$m_1 g (1 + \frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1})=...$

[Solaris86]

svv в сообщении #1137713 писал(а):

А равенство сил натяжения получается из (и при) невесомости нити.

А как невесомость объясняет равенство сил натяжения? Для меня это не так очевидно просто...

[svv]

Представьте для простоты, что блока нет, силы тяжести нет, нить горизонтальна, а оба груза тянут с разной силой два человека. На нить действует равнодействующая сила $T_2-T_1$. Если масса нити равна нулю, а сила не равна, по второму закону Ньютона получим бесконечное ускорение (см. сообщение Geen).

[Solaris86]

svv в сообщении #1137720 писал(а):

Нет. Приведите к общему знаменателю 1 и дробь.

$1. T = m_1 \cdot g + m_1 \cdot a = m_1 \cdot g + m_1 \cdot g \cdot (\frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = m_1 \cdot g \cdot (1 + \frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = m_1 \cdot g \cdot (\frac {m_2 + m_1 + m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = m_1 \cdot g \cdot (\frac {2 \cdot m_2}{m_2 + m_1}) = \frac {2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot g}{m_2 + m_1}$
$2. T = m_2 \cdot g - m_2 \cdot a = m_2 \cdot g - m_2 \cdot g \cdot (\frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = m_2 \cdot g \cdot (1 - \frac {m_2 - m_1}{m_2 + m_1}) = m_2 \cdot g \cdot (\frac {m_2 + m_1 - m_2 + m_1}{m_2 + m_1}) = m_2 \cdot g \cdot (\frac {2 \cdot m_1}{m_2 + m_1}) = \frac {2 \cdot m_1 \cdot m_2 \cdot g}{m_2 + m_1} $
И правда, красиво...

[svv]

Да, верно, $\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$.
Поделив числитель и знаменатель на $m_1m_2$, можно записать формулу в виде
$\frac{2}{\frac 1{m_1}+\frac 1{m_2}}g$
А это — умноженное на $g$ среднее гармоническое масс $m_1$ и $m_2$.
То есть — да, среднее, но не арифметическое, а более хитрое.

[Solaris86]

svv в сообщении #1137727 писал(а):

$\frac{2}{\frac 1{m_1}+\frac 1{m_2}}g$
А это — умноженное на $g$ среднее гармоническое
масс $m_1$ и $m_2$.
То есть — да, среднее, но не арифметическое, а более хитрое.

Вау!!!! Не поверите, но я с самой школы хотел узнать, что есть среднее гармоническое и буквально дня два назад задавался в очередной раз этим вопросом, а тут на тебе - прям пример в точку!! Спасибо!!

[DimaM]

Solaris86 в сообщении #1137748 писал(а):

е поверите, но я с самой школы хотел узнать, что есть среднее гармоническое и буквально дня два назад задавался в очередной раз этим вопросом, а тут на тебе - прям пример в точку!!

Я спросил у Гугеля...

[Solaris86]

svv в сообщении #1137727 писал(а):

Да, верно
, $\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g$.

Блин... Увидел по вашей ссылке статью в вики про машину Атвуда и был поражён
Цитирую себя же

Solaris86 в сообщении #1137702 писал(а):

Вариант 3.
Силы натяжения нити у каждого тела разные и равнодействующие разные... Почему силы натяжения вообще должны быть равны, если массы у тел разные?
Помогите разобраться.

Значит, мои сомнения на интуитивном уровне на счёт равенства силы натяжения нитей не зря: в случае неидеальной нити (имеющей массу и растяжимой), силы натяжения разные, равнодействующие разные, да еще и ускорения разные!!!! Как же тогда решать задачки с реальной нитью, если столько неизвестных?!

-- 14.07.2016, 08:33 --

DimaM в сообщении #1137749 писал(а):

Я спросил у Гугеля...

Я много раз видел формулу среднего гармонического, но не понимал, зачем она вообще нужна, так как не сталкивался с примерами этого среднего гармонического... А просто вызубрить эту формулу без понимания для меня неприемлемо!

-- 14.07.2016, 08:42 --

Еще мне очень сильно выносит мозг тот факт, что ВЕСА левого и правого груза одинаковые, так как раны силы натяжения нити!!!! Ведь массы тел и, соответственно, силы тяжести у тел разные, а вот веса одинаковые и силы натяжения одинаковые... Можно задать вопрос так: почему тела движутся, если веса одинаковые и равнодействующая между весами (а не силами тяжести) равна нулю?!

[DimaM]

Solaris86 в сообщении #1137750 писал(а):

Можно задать вопрос так: почему тела движутся, если веса одинаковые и равнодействующая между весами (а не силами тяжести) равна нулю?!

Странный какой-то вопрос. Поскольку смысла в "равнодействующей" сил, приложенных к разным тела, чуть меньше, чем никакого.

(Оффтоп)

Solaris86 в сообщении #1137750 писал(а):

Я много раз видел формулу среднего гармонического, но не понимал, зачем она вообще нужна, так как не сталкивался с примерами этого среднего гармонического... А просто вызубрить эту формулу без понимания для меня неприемлемо!

Неужели с такой задачкой никогда не сталкивались: проезжаем половину пути с одной скоростью, вторую половину с другой - какова средняя скорость?

[Solaris86]

Или веса и выравниваются как раз за счёт ускоренного движения?
Тогда если разрезать нить и подвесить оба тело отдельно к потолку, то получим (P - это вес):
$T_1 - m_1 \cdot g = R_1 = 0$
$T_2 - m_2 \cdot g = R_2 = 0$
$P_1 = T_1 = m_1 \cdot g$
$P_2 = T_2 = m_2 \cdot g$
Получается так:
Тела на идеальных нитях по отдельности:$T_2 > T_1, P_2 > P_1, m_2 \cdot g > m_1 \cdot g, R_2 = R_1 = 0$
Тела на идеальных нитях в одной системе:$T_2 = T_1, P_2 = P_1, m_2 \cdot g > m_1 \cdot g, R_2 > R_1$ или другими словами $|T_2 - m_2 \cdot g|>|T_1 - m_1 \cdot g|$

-- 14.07.2016, 09:00 --

DimaM в сообщении #1137751 писал(а):

Странный какой-то вопрос. Поскольку смысла в "равнодействующей" сил, приложенных к разным тела, чуть меньше, чем никакого.

Но тела ведь объединены в одну систему...

DimaM в сообщении #1137751 писал(а):

Неужели с такой задачкой никогда не сталкивались: проезжаем половину пути с одной скоростью, вторую половину с другой - какова средняя скорость?

Может и сталкивался, но никто не акцентировал внимания на том, что получающаяся по формуле средняя скорость есть ничто иное, как среднее гармоническое...
И вообще непонятно, почему это среднее гармоническое так называется, это как-то связано с гармоническими колебаниями? названия "среднее арифметическое" и "среднее геометрическое" в этом плане понятны, а вот "среднее гармоническое" - нет.

-- 14.07.2016, 09:02 --

Solaris86 в сообщении #1137752 писал(а):

, чуть меньше, чем никакого.

Может, всё же чуть больше: никакой смысл - это ноль, а чуть больше, чем никакой смысл, - это бесконечно малая)))))
Или что-то может быть меньше ноля по модулю?)))