Задача на нахождение матрицы оператора.

[Bronepsix]

Добрый день форумчане. Итак, задача:
Линейное подпространство $L$ четырехмерного евклидова пространства $E$ в некотором ОНБ e задано системой линейных уравнений. Найти в том же базисе матрицу ортогонального проектирования на $ L$.
СЛУ:
$x_1 - x_2 + x_3 - x_4 = 0$
$3x_2 - 2x_3 + 3x_4 = 0$
По моим рассуждениям: данное пространство четырехмерное, следовательно, можно его дополнить ортогональным дополнением. Векторы, на которое это ортогональное дополнение натянуто получаются из условий:
$x_1 = x_2 - x_3 + x_4 $
$3x_2 = 2x_3 - 3x_4$
Я взял следующие векторы за базис:
$ b_1= \left( \begin{array}{cc} -1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{array} \right)$ и $ b_2 = \left( \begin{array}{cc} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$
Далее: Ортогональная проекция вектора $c$ на некоторый другой вектор (в моем случае один из базисных векторов ортогонального дополнения) выражается формулой: $c_{pr.o} = \frac{(c,b_i)}{(b_i,b_i)}\cdot b_i$
Тогда проекция вектора $c$ на линейное подпространство $L$ будет выражаться формулой
$c_{pr.l}=c-\frac{(c,b_1)}{(b_1,b_1)}\cdot b_1-\frac{(c,b_2)}{(b_2,b_2)}\cdot b_2$$$
Правильный ли у меня ход мыслей? И что делать дальше? Подставлять в формулу базисные векторы и выводить матрицу оператора? А как это делать правильно (у меня не получается )?
А так-же посоветуйте пожалуйста каких-нибудь книг с разобранными решениями задач по линейной алгебре.

[demolishka]

Давайте забудем всю ту бяку, которую Вы написали и начнем с начала.
Что такое оператор ортогонального проектирования на подпространство $L$, как он определяется?

[Bronepsix]

Это оператор, ортогонально проектирующий некоторый вектор, принадлежащий линейному пространству, на линейное подпространство

[demolishka]

Стало быть можно проектировать вектор сразу на заданное подпространство $L$, а не на его ортогональное дополнение? Это ведь задачи одинаковые, тем более что пространство $L$ задано, а его ортогональное дополнение еще нужно поискать.
Какой базис у пространства $L$ (Вы его нашли, но, во-первых, обозвали базисом ортогонального дополнения, а во-вторых, он не совсем такой какой хотелось бы)?

[svv]

(Оффтоп)

В некотором смысле СЛАУ, данная по условию, более прямо задаёт ортогональное дополнение $U$ к подпространству $L$, чем само $L$. А именно, систему можно записать в виде
$\begin{cases}(u_1, x)=0\\(u_2, x)=0\end{cases},\; \text{где}\;u_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{bmatrix}\;,\;u_2=\begin{bmatrix}0\\3\\-2\\3\end{bmatrix}$
И $U$ оказывается линейной оболочкой набора векторов $\{u_1, u_2\}$, а сами эти векторы в силу линейной независимости — базисом $U$, в то время как базис $L$ ещё надо искать (хоть в нашем случае это совсем просто, и уже сделано). Конечно, в неортонормированном базисе, где $(a, b)\neq a^Tb$, будет посложнее.

[Bronepsix]

Хорошо. Сначала составляю матрицу из данных нам СЛАУ.
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1\\ 0 & 3 & -2 & 3 \\ \end{pmatrix}$
Затем элементарными преобразованиями ( на мой взгляд) упрощаю их и выделяю собственно 2 вектора, которые принимаю за базисный.
$\left( \begin{array}{cc} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ $\left( \begin{array}{cc} 3 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)$

[demolishka]

Bronepsix, базис чего Вы нашли? Пространства $L$ или его ортогонального дополнения? (На самом деле, в этот раз ни того, ни другого).

[Bronepsix]

Так, похоже я все-таки решил.
1)Нашел базис подпространства $L$ выбрал следующие вектора:
$\begin{pmatrix} \frac{-1}{3} & 0\\ \frac{-1}{3} & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$
Затем нашел базис Ортогонального дополнения:
$\begin{pmatrix} 2 & 3\\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$
Тогда матрица перехода для всего линейного пространства от базиса состоящего из векторов подпространства$L$ и ортогонального дополнения будет:
$\begin{pmatrix} \frac{-1}{3} & 0 & 2 & 3\\ \frac{-1}{3} & -1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0\\ \end{pmatrix}$
Обратная ей матрица:
$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -1\\ -1 & 7 & 3 & -5\\ -3 & 3 & 9 & 3\\ -1 & -5 & 3 & 7\\ \end{pmatrix}$
Тогда Матрица ортогонального проектирования некоторого вектора принадлежащего четырехмерному пространству на необходимый нам базис в подпространстве $L$ будет находиться с помощью уравнения:
$A_L=S^{-1} \cdot A_e \cdot S$
Где $A_e =$ Это собственно матрица ортогонального проектирования на первые 2 вектора ОНБ заданного в условии$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Ответом будет матрица:$A_e = \frac{1}{12} $ $\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 $ -1 \\ -1 & 7 & 3 $ -5 \\ -3 & 3 & 9 & 3 \\ -1 & -5 & 3 $ 7 \\ \end{pmatrix}$
Нашел объяснение в Умове. В любом случае спасибо за напутствие, надеюсь я решил правильно, ответы сходятся.