Беклемишев. Аналитическая геометрия.

[Charlz_Klug]

Задача 4: Даны три точки $A, B$ и $C$. Найдите такую точку $O$, что $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 0$. Решив аналогичную задачу для четырёх точек, докажите, что в треугольной пирамиде, отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке.

Решение:
С первым пунктом я, вроде бы, справился. Получается такая картина:


$\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}$, $\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC}$,
$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = 0 \Rightarrow \vec{OA} + \vec{OA} + \vec{AC} + \vec{OA} + \vec{AB} = 0 \Rightarrow 3 \vec{OA} + \vec{AC} + \vec{AB} = 0 \Rightarrow \vec{AC} + \vec{AB} = -3 \vec{OA} = 3 \vec{AO} \Rightarrow \vec{AO} = \frac {\vec{AC} + \vec{AB}} {3}$.

Теперь что касается "Решив аналогичную задачу для четырёх точек" - такая картина:

Как я понимаю предлагается найти точку $E$ такую, что $\vec{ED} + \vec{EC} + \vec{EB} + \vec{EA} = 0$. И тут я застрял. Пожалуйста, дайте направление.

[iifat]

На каком именно месте? В чём такая сакральная разница между тремя и четырьмя (если речь, конечно, не о зарплате)?

[Munin]

Charlz_Klug в сообщении #1056806 писал(а):

$\vec{AO}=\frac{\vec{AC}+\vec{AB}}{3}$.

А как эта точка называется?

[Charlz_Klug]

iifat в сообщении #1056808 писал(а):

На каком именно месте? В чём такая сакральная разница между тремя и четырьмя (если речь, конечно, не о зарплате)?

Я даже не знаю.

Возьмём какой-нибудь выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Тогда $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 0$; $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB}$; $\vec{OC} = \vec{OB} + \vec{BC}$; $\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{CD}$. Подставляем в $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = 0$ и получаем $4 \vec{OA} + 3 \vec{AB} + 2 \vec{BC} + \vec{CD} = 0$
А если рассматривать как пирамиду (рисунок в первом сообщении), то получается так:

$\vec{ED} = \vec{EA} + \vec{AD}$; $\vec{EC} = \vec{EA} + \vec{AC}$, $\vec{EB} = \vec{EA} + \vec{AB}$.

Далее:

$\vec{ED} + \vec{EA} + \vec{EB} + \vec{EC} = 0 \Rightarrow \vec{EA} + \vec{AD} + \vec{EA} + \vec{EA} + \vec{AB} + \vec{EA} + \vec{AC} = 0 \Rightarrow 4 \vec{EA} + \vec{AD} + \vec{AB} + \vec{AC} = 0 \Rightarrow 4 \vec{EA} + \vec{AD} + 3 \vec{AO} = 0$

Munin в сообщении #1056821 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1056806 писал(а):

$\vec{AO}=\frac{\vec{AC}+\vec{AB}}{3}$.

А как эта точка называется?

Строго говоря $\vec{AO}$ - вектор. А вот $O$ - это точка пересечения медиан треугольника $ABC$; а вот как это применить дальше - не пойму.

[unistudent]

И допустим, аналогичная задача для четырёх точек на плоскости решена. Как можно использовать это для доказательства того что в треугольной пирамиде, отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, пересекаются в одной точке? Может, аналогичную задачу для четырех точек надо решать в 3D?

[iifat]

Ну, такое чувство, что стоит ещё подучить векторы. Ничем другим не могу объяснить того факта, что для трёх точек вы получаете уравнение, где все вектора «исходят» (если забыть на минутку, что вектор не есть направленный отрезок) из $A$, а для четырёх — из разных точек. Я б вообще взял произвольную точку в качестве центра геометрии, провёл из неё вектора во все задействованные и попробовал получить векторное уравнение.
Впрочем, даже вашим способом задачу вы таки решили, хотя с ответом, наверное, не совпадёт. Если у вас есть этот самый ответ, можете попробовать доказать, что это та же самая точка, просто по-другому записанная. Думаю, у вас получится.
Что касается плоскости и пространства — обратите внимание, в векторной записи у вас нигде не используется размерность. То бишь, да, трёхмерные вектора отличаются от двумерных, но эти отличия не влияют на конкретно те свойства, которые используете вы в своих построениях. В этом одна из прелестей векторов
Ну и, кстати, во второй части задания используется понятие центра тяжести. То бишь, вы таки знаете, как найти центр тяжести треугольника?

[unistudent]

iifat в сообщении #1056923 писал(а):

Что касается плоскости и пространства ...

Charlz_Klug, вы все правильно делаете. Просто решайте задачу для 4х точек в пространстве и все встанет на свои места. А плоскость, судя по тому, что вы ищете центр для выпуклых четырехугольников, вас путает.

[Charlz_Klug]

Munin в сообщении #1056821 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1056806 писал(а):

$\vec{AO}=\frac{\vec{AC}+\vec{AB}}{3}$.

А как эта точка называется?

Точка $O \text{---}$ точка пересечение медиан треугольника $ABC$.

[SomePupil]

Charlz_Klug
Разделим треугольник на тонкие полоски, параллельные какой-то его стороне. Центры масс этих полосок находятся на их серединах. Таким образом, вся тяжесть треугольника сконцентрирована на отрезке, проходящем через середины полученных полосок; следовательно, центр масс треугольника лежит на этом отрезке. А что это за отрезок? Кажись, медиана.

А если мы разделим треугольник на полоски, параллельные другой его стороне, и проведем аналогичные рассуждения, то узнаем ответ на вопрос:

Munin писал(а):

Charlz_Klug писал(а):

$\vec{AO}=\frac{\vec{AC}+\vec{AB}}{3}$.

А как эта точка называется?

[Charlz_Klug]

SomePupil в сообщении #1137380 писал(а):

А если мы разделим треугольник на полоски, параллельные другой его стороне, и проведем аналогичные рассуждения, то узнаем ответ на вопрос:

Munin писал(а):

Charlz_Klug писал(а):

$\vec{AO}=\frac{\vec{AC}+\vec{AB}}{3}$.

А как эта точка называется?

Центр тяжести.

Тогда точка $F \text{---}$ центр тяжести треугольника $ABC$. В базисе $(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})$ вектор $\vec{AF} = \frac {\vec{AC} + \vec{AB}} {3}$. Теперь найдём вектор $\vec{AH}$, где точка $H$ делит пополам отрезок $BC$. $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$, $\vec{HC} = \frac {\vec{AC} - \vec{AB}} {2}$; $\vec{AH} = \vec{AC} + \vec{CH} = \vec{AC} + \frac {\vec{AB} - \vec{AC}} {2} = \frac {\vec{AC} + \vec{AB}} {2}$. То есть векторы $\vec{AF}$ и $\vec{AH}$ коллинеарны. Рассуждая аналогично выяснится что $\vec{DG} = \frac {\vec{AC} + \vec{AB} - 2 \vec{AD}} {3}$ и $\vec{DH} = \frac {\vec{AC} + \vec{AB} - 2 \vec{AD}} {2}$ также коллинеарны. Получается, что векторы $\vec{DF}$ и $\vec{AG}$ лежат в одной плоскости. Выясняется, что $\vec{AG} = \frac {\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}} {3}$ и $\vec{DF} = \frac {\vec{AB} + \vec{AC} - 3\vec{AD}} {3}$, а значит эти векторы не коллинеарны. Теперь докажем что векторы $\vec{AG}$ и $\vec{DF}$ пересекаются в некоторой точке $E$, если это действительно так, то $\vec{AD} = \vec{AE} + \vec{ED}$; $\vec{AE} = \lambda \vec{AG}$; $\vec{ED} = \beta (- \vec{DF})$. Отсюда $\vec{AD} = \lambda \frac {\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD}} {3} + \beta \frac {3 \vec{AD} - \vec{AB} - \vec{AC}} {3} = \frac {\vec{AD} (3 \beta + \lambda) + \vec{AB} (\lambda - \beta) + \vec{AC} (\lambda - \beta)} {3}$. Слегка перепишем таким образом: $\vec{AD} (3 \beta + \lambda) + \vec{AB} (\lambda - \beta) + \vec{AC} (\lambda - \beta) = 3 \vec{AD}$. Получаем систему уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \lambda - \beta&=& 0 \\ 3 \beta + \lambda&=& 3 \\ \end{array} \right.$$

Решив её получаем $\lambda = \beta = \frac {3} {4}$. A значит $\vec{AE} = \frac {3} {4} \vec{AG} - \frac {3} {4} \vec{DF}$. Используются только три четверти от векторов $\vec{AG}$ и $\vec{DF}$. А значит они действительно пересекаются в точке $E$. Что и требовалось доказать. Спасибо, разобрался. Вопрос закрыт.