Четырехугольник со вписаной и описаной окружностью

[stedent076]

В 4-угольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Каждая его диагональ делит его площадь в отношении $\dfrac{2}{3}$ .Найдите тангенсы всех углов 4-угольника $ABCD$ и радиус окружности, описаной около 4-угольника, если наибольшая его сторона имеет длину $24$.
Содержательные попытки решения:
Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.Тогда $BO\cdot DO=AO\cdot OC$. Так же суммы противоположных углов равны $180$ градусам, $AB+CD=AD+BC$.
$2S(ABC)=3S(ACD)$
$2S(ABD)=3S(DBC)$
$2S(ABC)+3S(ACD)=2S(ABD)+3S(DBC)=S(ABCD)$
Можно расписать площади трегольников по формуле Герона, площадь четырехугольника – по формуле Брахмагупты, найти все стороны, и посчитать радиус и тангенсы, но долго, муторно и можно ошибиться. Я уверен, что есть куда более красивый и быстрый способ, до которого я не додумался.

[DeBill]

stedent076
Пусть площадь всего равна 5 частям.
Из Ваших формул (второй и третьей; четвертая - неправильна) следует, что тр-ки $ABC$ и $ABD$- из 3 частей. То бишь, равновелики. Значит, их высоты, опущенные на $AB$ - равны. Значит, $AB$ парал-на $CD$....

[stedent076]

DeBill
$ABCD$ – параллелограм?

[DeBill]

Не, мы ж получили пара-ть только одной пары. Трапеция. Равнобедрая...С понятно каким отношением оснований. Осталось использовать Ваше первое равенство - и будут все стороны. А там, глядишь, и тангенсы...

[stedent076]

DeBill
Я думал просто, что проделав что-то похожее можно получить параллельность $AC$ и $BD$.Ладно, сейчас попробую использовать то, что $ABCD$ – равнобедренная трапеция

[stedent076]

DeBill
А тангенсы считать из прямоугольных треугольников $ADM$ и $ADN$?( $N$ и $M$ – точки падения высот на основание трапеции). Окружность по формуле $R={\dfrac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}$? Более хитрых способов нет?)

[DeBill]

stedent076
Тангенсы - да: зная все стороны, из Вашего $ADM$ как не фиг делать найдем высоту. Да и диагонали.
А тогда уж - и синус угла $ACD$. И вспомним теорему синусов (в ее правильной формулировке, отношение стороны к синусу - одно и тоже, и, блин, равно диаметру - про что народ систематичски забывает)

[stedent076]

DeBill
Спасибо!