"Континуальномерное" пространство

[Alex_J]

Определения сего объекта можно найти главным образом на зарубежных ресурсах, например здесь.

Вопрос на правильность понимания.
Можно ли поставить во взаимно однозначное соответствие элементам такого множества все подмножества $\mathbb{R}$ (или даже $\mathbb{R}^n$)? Если нет, то почему, и что вместо подмножеств можно поставить в соответствие?

[mihaild]

Там не определение, там пример (и даже не доказано, что у получившегося пространства именно континуальный базис).

Alex_J в сообщении #1134871 писал(а):

Можно ли поставить во взаимно однозначное соответствие элементам такого множества все подмножества $\mathbb{R}$

Нет, нельзя, т.к. это множетсво континуально: положим $x_{i,k}$ равным $i$-му разряду $f(k)$, если в целой части $f(k)$ не ровно $i$ разрядов, иначе $x_{i,k} = .$, тогда $g: V \to \mathbb{R}, g(f) = x_{0,0}x_{0,1}x_{1,0}x_{0,2}x_{1,1}x_{2,0}\ldots$ (идем по диагонали) - инъекция $V$ в бесконечные последовательности в конечном алфавите - следовательно, $V$ не более, чем континуально. Ну и $\mathbb{R}$ вкладывается в $V$ - следовательно, $V$ в точности континуально.

Alex_J в сообщении #1134871 писал(а):

что вместо подмножеств можно поставить в соответствие?

Какого вида соответствие нужно? Если любого - то любое континуальное множество.

[arseniiv]

Ещё можно добавить детальку:

Alex_J в сообщении #1134871 писал(а):

все подмножества $\mathbb{R}$ (или даже $\mathbb{R}^n$)

Эти двое равномощны.

[Alex_J]

Спрошу так.
Элементы бесконечномерного пространства со счётным числом координат могут быть описаны счётным множеством, т.е. дискретным.
Континуум координат - несчётное множество. Если я правильно понимаю континуальномерное пространство (КП) вообще. Значит, описать элемент из этого пространства может объект, состоящий из несчётного числа элементов. Таковым является, скажем, некая конечная в геометрическом смысле область $\mathbb{R}^n$, пусть обозначается $X$. И тогда вопрос в том, достаточно ли всех элементов КП, чтобы описать все $X$, и наоборот.

-- 30.06.2016, 19:17 --

Т.е. вопрос самого определения КП. Попытаюсь сконструировать на словах. Это множество (пространство, многообразие?), каждому элементу которого ставится в соответствие множество мощности континуума (ну пусть $\mathbb{R}$ как очевидный представитель). Беря все подмножества любого множества такой мощности, имеющие такую же мощность (либо не все, а только образующие некую топологию, либо непересекающиеся подмножества?), мы получаем отображение КП на $\mathbb{R}$. А точнее, на определённое множество его подмножеств.
И теперь всё это оформить красиво в соответствующих символах. :)

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Alex_J в сообщении #1134908 писал(а):

А теперь всё это оформить красиво в

стихах.

[mihaild]

Alex_J в сообщении #1134908 писал(а):

счётным множеством, т.е. дискретным

Что такое "дискретное" множество?

Alex_J в сообщении #1134908 писал(а):

описать элемент из этого пространства может объект, состоящий из несчётного числа элементов

Что значит "объект описывает элемент пространства"? (объект - видимо, множество, раз вы говорите о его мощности?)

Вообще, пространство размерности $\alpha$ можно воспринимать как множество функций $X \to \mathbb{R}$ (где $\left|X\right| = \alpha$), отличных от нуля на не более чем конечном множестве.

Определение - пространство имеет размерность $\alpha$, если у него существует базис мощности $\alpha$ (ну и надо доказать, что любые два базиса равномощны).

В векторном пространстве, кроме мощности, еще есть очень важная структура, и если вы хотите чему-то сопоставлять вектора - то вам нужна еще какая-то аналогичная структура на том, чему сопоставляете (иначе неинтересно). По мощности-то континуум-мерное пространство над $\mathbb{R}$ и само $\mathbb{R}$ совпадают.

[Alex_J]

mihaild в сообщении #1134912 писал(а):

Что такое "дискретное" множество?

Пардон. Имелось в виду счётное и не более того.

mihaild в сообщении #1134912 писал(а):

По мощности-то континуум-мерное пространство над $\mathbb{R}$ и само $\mathbb{R}$ совпадают.

Значит, в принципе, функцию, отображающую одно в другое взаимно однозначно, возможно.

mihaild в сообщении #1134912 писал(а):

В векторном пространстве, кроме мощности, еще есть очень важная структура, и если вы хотите чему-то сопоставлять вектора - то вам нужна еще какая-то аналогичная структура на том, чему сопоставляете (иначе неинтересно).

Со структурой упражняться - уже второй этап, так как...

mihaild в сообщении #1134912 писал(а):

Что значит "объект описывает элемент пространства"? (объект - видимо, множество, раз вы говорите о его мощности?)

Задача - понять непонятное посредством понятного частного примера для начала. :)

[arseniiv]

Куда уж проще:

mihaild в сообщении #1134912 писал(а):

Вообще, пространство размерности $\alpha$ можно воспринимать как множество функций $X \to \mathbb{R}$ (где $\left|X\right| = \alpha$), отличных от нуля на не более чем конечном множестве.

Вот и берёте $[0;1]$, например, и рассматриваете все конечные его наборы точек, каждая из которых подписана каким-то ненулевым числом. Складываются и умножаются на скаляр такие наборы просто, притом точки, подписанные нулём, выкидываются. Кажется, вполне наглядно. Как вы, например, наглядно представляете счётномерное векторное пространство?

[mihaild]

Alex_J в сообщении #1134914 писал(а):

Со структурой упражняться - уже второй этап

А именно эта структура отличает континуум-мерное пространство от одномерного. Т.е. просто изучая мощности (в том числе рассматривая биекции, не уважающие векторные операции), вы не узнаете о континуум-мерном пространстве ничего, что не было бы выполнено и для одномерного.

[Munin]

Alex_J в сообщении #1134871 писал(а):

Определения сего объекта можно найти главным образом на зарубежных ресурсах, например здесь.

Гуглите "функциональные пространства". Их много разных. Даже с заданной размерностью - много разных.

[Alex_J]

mihaild
Munin
Спасибо!

[Chanzaa]

Alex_J в сообщении #1134908 писал(а):

вопрос самого определения КП.

Векторное пространство определяется как модуль над полем. В определение векторного пространства не входит определение размерности. Чтобы пользоваться понятием размерности, его нужно каким-то образом ввести, вдобавок к определению пространства. Например, можно определить базис Гамеля векторного пространства, а затем назвать размерностью пространства мощность его базиса Гамеля (все базисы Гамеля равномощны).

Базисом Гамеля векторного пространства называется такое подмножество пространства, что любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде конечной линейной комбинации элементов этого подмножества. Можно доказать (в присутствии аксиомы выбора), что хотя бы один базис Гамеля есть у каждого векторного пространства, поэтому у каждого векторного пространства размерность определена.

Континуальномерное пространство - это пространство, базис Гамеля которого имеет мощность континуума. Аналогично для любого другого кардинала.