Спица

[dovlato]

На неподвижную горизонтальную гладкую спицу надета невесомая пружинка.
Один её конец прикреплён к спице, другой - к тяжёлой бусине, также надетой на спицу.
Угловая частота этого пружинного маятника равна $\omega_0$.
Потом спица со всем хозяйством начинает равномерно вращаться оси. Известно лишь то, что ось перпендикулярна спице.
Частота колебаний маятника стала равной $\omega_1$. Найти частоту вращения спицы $\Omega$.

[Munin]

(Оффтоп)

Красиво. Эталон минимализма.

[SomePupil]

$\Omega = \sqrt{\omega_1^2 - \omega_0^2}$. ЗСПЭ.

P. S. Это угловая скорость. Для частоты вращения выскакивает множитель $\frac1{2\pi}$.

[dovlato]

Munin: ещё одна теорема Пифагора)).

SomePupil, а знаки..

[dovlato]

Вариант развития темы.
Пусть имеются три пружинных маятника, подобных описанному, с собственными частотами $\omega_{01},\omega_{02},\omega_{03}$.
Они расположены взаимно перпендикулярно, образуя жёсткую систему.
Затем эту систему начинают равномерно вращать вокруг произвольной прямой с некоторой частотой $\Omega$.
Частоты колебаний маятников становятся равными $\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$.
Проверить равенства:

$$\Omega^2=\Omega_1^2+\Omega_2^2+\Omega_3^2$$

$$\mathbf\Omega=\left(\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3\right)$$

$$\Omega_k=\pm\sqrt{\omega_{0k}^2-\omega_k^2}$$

[SomePupil]

dovlato, просто фразу "найти частоту вращения" я понял как "найти модуль частоты вращения". Требования задачников "найти скорость/ускорение/путь/энергию" я воспринимаю аналогично.

А вообще, задача лаконичная и очень красивая.

[dovlato]

SomePupil, спасибо за оценку). А про знаки..дело в том, что $\omega_0\ge\omega_1$!

[SomePupil]

dovlato, Вы уверены? А что будет тогда при $\Omega > \omega_0$?

[dovlato]

Отвечу экспромтом, без специального исследования, так, как это мне представляется сейчас.
При $\Omega=\omega_0$ будут области безразличного равновесия, и могут быть (это зависит от расположения спицы, точки равновесия и оси вращения) области, где равновесия нет.
Силы, действующие там, выбрасывают тело в область равновесия, а далее оно будет скользить по спице с постоянной скоростью. Колебания не возникают.
При $\Omega>\omega_0$ точек устойчивого равновесия нет, поэтому тело будет неограниченно разгоняться в какую-то одну сторону.
Рассмотрите наиболее наглядный пример, когда ось проходит через прямую, на которой лежит спица.

[dovlato]

Подумавши, уточню.
Будем считать спицу настолько длинной, насколько захотим. На её прямой в качестве начальной возьмём точку, наиболее близкую к оси вращения.
$x_0$ - точка на спице, где пружина не деформирована. $k$ - её жёсткость. $\omega_0^2=k/m$ - квадрат угл. частоты колебаний при неподвижной спице.
В произвольной точке х значение потенциальной энергии

$$U(x)=\frac{m}2[\omega_0^2(x-x_0)^2-\Omega^2x^2]$$

Или

$$U(x)=\frac{m}2[(\omega_0^2-\Omega^2)x^2-2\omega_0^2x_0x+...]$$

Проанализируем это выражение.
1. Если коэффициент при $x^2$ отрицательный, то, очевидно, система имеет максимум, и не имеет минимума. Колебания не возникают.
2. Если этот коэффициент равен нулю, то $U(x)$, вообще говоря, линейная функция, когда на тело действует постоянная сила.
В единственном частном случае, когда $x_0^2=0$, $U(x)=\operatorname{const}$, тело в безразличном равновесии в любой точке.
Так или иначе, колебания не возникают.
3. Если

$$\omega^2=\omega_0^2-\Omega^2>0,$$

то $U(x)$ имеет минимум. Тело может колебаться с угл. частотой $\omega$.

[SomePupil]

dovlato, у меня когнитивный диссонанс. Вот моё решение:
Полная энергия системы (обозначения такие же, как у Вас)

$$\frac{k(x-x_0)^2}2 + \frac{mx^2\Omega^2}2 + \frac{m\dot x^2}2 = \text{const},$$

откуда

$$k(x-x_0) + m\Omega^2 x + m\ddot x =0$$

($\dot x$ везде сокращается). Отсюда видно, что

$$\omega_1^2 = \frac{k + m\Omega^2}m = \omega_0^2 + \Omega^2.$$

Где косяк?

С другой стороны, у Вас в выражение потенциальной энергии входит "вращательный" компонент. Вы заменяете вращение на некое силовое поле, как я понял. Консервативна ли сила, порожденная этим полем? Вполне возможно, что это общеизвестный факт, так что пороюсь в учебниках. Авось, что-нибудь по этому поводу найду. Но и объяснение с Вашей стороны не помешало бы. Вот с пружинкой всё понятно: при возвращении груза в первоначальное положение пружинка совершает отрицательную работу, поэтому в сумме работа получается ноль $-$ упругая сила пружинки консервативна (этакое одномерное силовое поле, хотя такая "полевая" интерпретация выглядит странно).

-- 04.07.2016, 18:57 --

Впрочем, поле, порожденное вращением, будет центральным и, таким образом, консервативным. Хм...

[dovlato]

Второе слагаемое в выражении для энергии - должно быть с минусом. "Центробежная энергия" с удалением от начала координат уменьшается!
Диссонанс, могу предположить, произошёл из-за того, что Вы пишете энергию для лабораторной СО (а не для вращающейся).
Можно посмотреть Ландау-Лифшиц 1 том.
Наглядности ради рассмотрим очень частный пример.
Пусть, например, $x_0=0$, и ось проходит через спицу. И пусть это тело даже не колеблется, а равномерно вращается на расстоянии х от центра.
Необходимая центростремительная сила, очевидно, $f=m\Omega^2x$. С другой стороны, должна обеспечить эту силу - пружина.
Величина её реакции $f_s=kx=m\omega_0^2x$. Приравнивая обе силы, видим, что $\omega_0=\Omega$.
Теперь понятно, что при $\Omega>\omega_0$ пружина уже не сможет удерживать тело, и оно будет улетать с возрастающим ускорением.

[SomePupil]

dovlato, да, Вы правы.

[dovlato]

У меня вопрос к профессионалам. В меру сумасшедший.
Тут рассматривались обычные механические колебания. А был бы сдвиг по частоте для осцилляторов другой природы?
Квантовый генератор, например. Или колебания кристаллической решётки.
Понятно, что речь - не о доплеровском сдвиге.