Учебное неравенство

[waxtep]

(arqady)

Тут мне уже не первый раз пришла в голову аналогия между способом решения неравенства и стилем ухаживания за девушкой (кхм). Вы в этом примере подарили девушке шаль, обернув исходное $a+b-c$ в еще три скобки, а что сделал я или участница TR63, скромно умолчу

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1134277 писал(а):

arqady в сообщении #1133367 писал(а):

Для всех действительных $x$ докажите, что

$$\sqrt{5x^2-40x+107}+\sqrt{5x^2+5x+8}\geq \sqrt{\frac{3}{2}(5x^2-10x+113)}$$

Пусть $\sqrt{5x^2-40x+107}=a$, $\sqrt{5x^2+5x+8}=b$ и $ \sqrt{\frac{3}{2}(5x^2-10x+113)}=c$.
Так как, как легко видеть, $c\geq b$ и $c\geq a$, то наше неравенство еквивалентно $(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)\geq0$ или
$2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-a^4-b^4-c^4\geq0$ или $(x-1)^2(5x-11)^2\geq0$.

Или просто можно теорему косинусов записать: $1\ge \left (\frac {a^2+b^2-c^2}{2ab}\right )^2 $

[sergei1961]

Извините за занудство, но для т. косинусов не нужно проверить, что эти три числа могут быть длинами сторон?