Отбор корней в зависимости от параметра

[stedent076]

Найти все целые значения $x$ из отрезка $[19;29]$ удовлетворяющие неравенству
$\dfrac{a^6+8a^5-2}{a^x}$$\leqslant 1$
Где $a$ – корень уравнения $y^{17}+2y^{11}+4y^5=1$
Решение:
Заметим, что в выражении $y^{17}+2y^{11}+4y^5=1$ все степени $y$ нечетные, поэтому все слагаемые имеют один знак, а значит $y>0$
$y^{17}+2y^{11}+4y^5=1\Leftrightarrow y^5(y^{12}+2y^6+4)=1\Leftrightarrow y^{-5}=(y^6)^2+2y^6+4$
Рассмотрим параболу $f(t)=t^2+2t+4$ где $t=y^6$ Заметим, что функция определена для положительных аргументов и ее наименьшее значение $4$. Если $y^5(y^{12}+2y^6+4)=1$ и $(y^6)^2+2y^6+4\geqslant 4$ то $y^5<\dfrac{1}{4}$.Вот и все, чего я добился в решении задачи.Понятно, что нужно как-то оценить значение $a$ Но вот неясно, что нужно делать дальше.

[Brukvalub]

stedent076 в сообщении #1135142 писал(а):

Заметим, что функция определена для положительных аргументов и ее наименьшее значение $4$.

Это как?
$f(-1)=1-2+4=3$

[stedent076]

Brukvalub
$t=y^6$

[Brukvalub]

Виноват, прозевал... Впрочем, в любом случае эта оценка тривиально получается из неравенства $y>0 \Rightarrow 4y^5<y^{17}+2y^{11}+4y^5=1$

[stedent076]

Brukvalub
Вы имеете ввиду оценку $0<y<1$?

[Brukvalub]

Нет, я имею в виду оценку

stedent076 в сообщении #1135142 писал(а):

$y^5<\dfrac{1}{4}$

[stedent076]

Brukvalub
Так, с этим мы разобрались. Что Вы мне посоветуете делать дальше с задачей?

[DeBill]

Может быть, поможет, что $a^6 +8a^{5} - 2 = a^6-2a^{17} - 4a^{11}$ ?

-- 02.07.2016, 02:47 --

Или: $1<a^{15} + 2a^{10}+4a^5$, что дает оценку снизу на $a^5$...

[svv]

Умножьте обе части уравнения для $a$ на $a^6-p$, где $p$ подберите так, чтобы все слагаемые с 11-й и 17-й степенями сократились. Тогда $a$ в какой-то большой степени очень хорошо выразится через...

[stedent076]

svv
$p=2$
$y^{23}-8y^5=y^6-2$
$y^{23}=8y^5+y^6-2$
и исходное уравнение принимает вид
$a^{23-x}\leqslant 1$
Учитывая, что $a\in (0;1)$
$x=19;20;21;22;23$
Спасибо!

-- 02.07.2016, 13:12 --

DeBill
Спасибо за вашу помощь, но, как оказалось, оценки параметра в решении не нужны