Потенциальная энергия в Лагранжиане

[Viktor92]

Доброе время суток. Занимаюсь сейчас колебаниями молекул ЛЛ т.1. п.24, там в первой задачке о колебание линейной симметричной молекулы (3 одинаковых атома на линии) записана потенциальная энергия в Лагранжиане в виде: $U=\frac {k}{2}*((x_1-x_2)^2+(x_3-x_2)^2)$.
Если теперь это продифференцировать найдем силы $F_i=-\frac{dU}{dx_i}$.
$F_1=k(x_2-x_1)$
$F_2=k(x_1-x_2)-k(x_2-x_3)$
$F_3=k(x_2-x_3)$
Теперь если по этим силам искать потенциальную энергию (я так делал когда решал задачу, чтобы написать Лагранжиан) по формуле $U=\sum\limits_{i=1}^{3} U_i$, где $U_i=-\int\limits_{0}^{x_i}F_i(x_i)dx_i$, то получаю дополнительные непонятные перекрестные члены:
$U=\frac {k}{2}*((x_1-x_2)^2+(x_3-x_2)^2)+k(x_1x_2+x_2x_3)$, если теперь пытаться найти силы они будут уже другими и уравнения движения соответственно тоже, по началу я думал что это просто неоднозначность в функции Лагранжа, но полной производной по времени от некой функции дающей перекрёстные члены я не нашёл, хотя понял что её не существует, т.к. если бы она была, то выражение для потенциальной энергии ещё бы упростилось, если раскрыть квадраты, там появятся такие же перекрёстные члены. Чувствую тут меня математика водит за нос , раз 5 проводил выкладки и получаются эти члены... В чём тут дело?

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1134984 писал(а):

там в первой задачке о колебание линейной симметричной молекулы (3 одинаковых атома на линии) записана потенциальная энергия в Лагранжиане в виде: $U=\frac {k}{2}*((x_1-x_2)^2+(x_3-x_2)^2)$.

Нет, что вы. Она записана в виде $U=\frac{k}{2}((x_1-x_2)^2+(x_3-x_2)^2).$ Звёздочку в качестве умножения использовать в математике не принято. Вы же не пишете звёздочки на бумаге? Вот и тут не надо!
1. На крайняк есть вполне хорошие символы \cdot \times, а вообще умножение записывается без знака.
2. Звёздочкой обозначаются другие операции, например, очень часто - свёртка.

-- 01.07.2016 00:00:27 --

Viktor92 в сообщении #1134984 писал(а):

раз 5 проводил выкладки и получаются эти члены...

Ну покажите выкладки.

[Slav-27]

Viktor92 в сообщении #1134984 писал(а):

$U_i=-\int\limits_{0}^{x_i}F_i(x_i)dx_i$

Это (с точностью до знака) работа по перемещению точки единичной массы из непонятно какой точки $A=(x_1, x_2, x_3)$ в точку $A+(x_1; 0; 0)=(2x_1, x_2, x_3)$ (в случае если $i=1$, для других аналогично). Это если интегрировать так, как делаете вы.

Вы хотите принять, что в $(0; 0; 0)$ потенциальная энергия ноль, и найти потенциальную энергию в $(x_1, x_2, x_3)$. Для этого надо стартовать из $(0; 0; 0)$ и пронести точку до $(x_1; x_2; x_3)$. Например так: $(0;0;0) \rightarrow (x_1;0;0) \rightarrow (x_1; x_2; 0) \rightarrow (x_1; x_2; x_3)$. (Можно и по-другому.)

А у вас: $(x_1; x_2; x_3)\rightarrow (2x_1; x_2; x_3), (x_1; x_2; x_3)\rightarrow (x_1; 2x_2; x_3), (x_1; x_2; x_3)\rightarrow (x_1; x_2; 2x_3)$ -- и потом всё сложили зачем-то. Конечно ерунда получается.

Не обозначайте координаты точки, в которую хотите добраться, так же, как переменные: это всё запутывает. Обозначьте координаты точки, в которую идёте, например $(a, b, c)$, то есть ищите $U(a, b, c)$. Тогда $x_i$ будут только под интегралом и только в связанном виде (то есть если под интегралом $x_1$, то интегрирование идёт по $dx_1$ и т. д.).

[Viktor92]

Munin в сообщении #1135009 писал(а):

ы же не пишете звёздочки на бумаге? Вот и тут не надо!

Не ругайтесь, это у меня как-то случайно получилось

Slav-27 в сообщении #1135033 писал(а):

А у вас: $(x_1; x_2; x_3)\rightarrow (2x_1; x_2; x_3), (x_1; x_2; x_3)\rightarrow (x_1; 2x_2; x_3), (x_1; x_2; x_3)\rightarrow (x_1; x_2; 2x_3)$ -- и потом всё сложили зачем-то. Конечно ерунда получается.

Да, понял ошибку. Неправильно применил аддитивность потенциальной энергии, но складывать всё равно приходится. Пусть линейная молекула из трёх атомов, пронумерованных слева на право 1-2-3. Считаю работу силы $F_1$ из $(x_1,x_2,x_3)\to(0,x_2,x_3)$, затем считаю работу силы $F_2$ из $(0,x_2,x_3)\to(0,0,x_3)$, и наконец третьей $F_3$ из $(0,0,x_3)\to(0,0,0)$, затем всё суммируем, беря всё со знаком минус и получается нужный ответ. Спасибо.

[Munin]

Viktor92 в сообщении #1135165 писал(а):

Не ругайтесь, это у меня как-то случайно получилось :-)

Ну, я не всерьёз :-)
Но с другой стороны, лучше разок выругать, чтобы запомнилось.