Переменное электрополе

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Помогите пожалуйста с задачей.
Имеем колебательный контур (см.рис.), расстояние между пластинами конденсатора $d$. Какова средняя сила взаимодействия пластин конденсатора $C$:
a) сразу после замыкания ключа $K$ ?
b) после затухания колебаний ?


Соображения такие: т.к. $ \mathcal{E} = u_C (t) + u_L (t) $, то:
а) сразу после замыкания ключа $K$ по законам коммутации все напряжение $\mathcal{E}$ выделяется на $L$ , т.е.: $u_C (0_+) = 0$, тогда: $ q = C \cdot u_C (t) = 0 $ и сила: $ F = 0, (F \sim q) $

б) после затухания колебаний: $ u_C = \mathcal{E}, q = C \mathcal{E} $, а т.к. из электростатики: $ F = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 S}, C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$, где: $S $ - площадь пластин, избавляясь от $S$ и подставляя 2-е в 1-е получим: $F = \frac{C \mathcal{E}^2}{2d}$.
Проверьте пжлста, все ли верно?

[Munin]

Stensen в сообщении #1134469 писал(а):

а) сразу после замыкания ключа $K$ по законам коммутации все напряжение $\mathcal{E}$ выделяется на $L$

Нет, вопрос задачи имеет другой смысл: сразу после замыкания ключа в контуре начнутся какие-то колебания. Вот среднее по этим колебаниям и надо найти.

Амплитуда этих колебаний сначала будет максимальной, определяемой законами коммутации. А потом постепенно колебания затухнут, за счёт слабых омических или иных помех, от проводов, внутреннего сопротивления источника, от излучения волн. И тогда амплитуда колебаний уйдёт в ноль, а схема будет работать в стационарном режиме. Там среднее будет совпадать с фактическим значением силы.

[Stensen]

Munin в сообщении #1134477 писал(а):

Сразу после замыкания ключа в контуре начнутся какие-то колебания. Вот среднее по этим колебаниям и надо найти. Потом постепенно колебания затухнут и схема будет работать в стационарном режиме и среднее будет совпадать с фактическим значением силы.

Тогда так:
а) сила притяжения пластин сразу после замыкания: $ F(t) = \frac{\varepsilon_0 S}{2} E^2(t)$, где: $S, E(t) $ - площадь пластин и напряженность переменного электрополя между пластинами конденсатора. Из: $C = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ находим $S $ и подставляем в первое и получим: $F(t) = \frac{C d}{2} E^2(t) = \frac{C}{2d} u_C^2(t) $. Найдем среднюю за период $T$ силу: $ F_{cp} = \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} F(t)dt = \frac{C}{2dT} \int\limits_{0}^{T} u_C^2(t)dt$. После потуг с дифуром родил: $ u_C(t) = \mathcal{E} (1 - \cos \omega t)$. Порешав интеграл, нашел: $F_{cp} = \frac{3 C \mathcal{E}^2}{4d}$.

б) в стационарном режиме: $u_C (t) = \mathcal{E} $, тогда из раннего: $ F = \frac{C \mathcal{E}^2}{2d}$. Все ли законно?

[Munin]

Средняя от квадрата косинуса - это одна вторая. Откуда у вас троечка вылезла?

[Stensen]

Munin в сообщении #1134749 писал(а):

Средняя от квадрата косинуса - это одна вторая. Откуда у вас троечка вылезла?

Да вроде так: $\int\limits_{0}^{T} (1 - \cos \omega t)^2 dt = \frac{3T}{2} $

[Munin]

А. Не заметил. Тогда может быть.