ОДУ со сложной функцией

[H14sk]

Получилось дифференциальное уравнение (из одного очень известного уравнения):

${y_t} + {x_t}{y_x} = \frac{\sigma^2}{2}xy_x$; (1)

которое сначала полагал как УРЧП, то есть, полагал, что t и x (как бы) независимые переменные неизвестной функции $y(t, x)$. Точнее, полагал его как УРЧП вслед, наверное, за почти всеми... =))
Сначала понимал для себя как уравнение типа УРЧП но с зависимыми переменными.

Однако, вдруг неожидано для себя осознал, что на самом деле речь идёт о сложной фунции в ОДУ.

${y_t} + {x_t}{y_x} = \frac{dy}{dx} = \frac{\sigma^2}{2}xy_x$; ($\frac{dy}{dx}$ - полная производная).

$y(t, x(t))$, где x(t) также неизвестная функция только времени (точнее, почти неизвестная - вероятностное распределение)

Вопросы: есть ли такие уравнения (1) в классификации ОДУ (или другой)? Называются как? Как решать? Есть ли общая теория?

[svv]

Вы, наверное, имели в виду не $\frac{dy}{dx}$, а $\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial y}{\partial x}\frac{dx}{dt}$ .

[DeBill]

H14sk в сообщении #1134330 писал(а):

Получилось дифференциальное уравнение (из одного очень известного уравнения):

А можно - подробнее?

(Оффтоп)

Это что - газодинамика и характеристики?

Уравнение - странное. Что, оно должно выполняться при $x=x(t)$ ?
Тогда это - шибко недоопределенная весчь. Ну, типа, получается задача вроде: по значению функции и ее производной в точке, найти функцию...
Например: возьмем $x(t)$ - произвольной, и $y'_x (t,x(t)) $ - тоже. Из Вашего "дифура" найдем $\frac{dy(t,x(t))}{dt}$, интегрируя, найдем $y(t,x(t))$... Вот и получилось то самое ВРОДЕ...

[H14sk]

svv в сообщении #1134395 писал(а):

Вы, наверное, имели в виду не $\frac{dy}{dx}$, а $\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial y}{\partial x}\frac{dx}{dt}$ .

Спасибо!
Увлекся... и прошляпил... неаккуратно... причём два раза...
На привычку есть отвычка =))

[H14sk]

DeBill в сообщении #1134454 писал(а):

А можно - подробнее?

Подробнее не хотелось, поскольку, уход от темы, но, возможно, есть смысл...

1. Действительно, сходно в чём-то с уравнениями аэро-гидродинамики, химической кинетики, теплопроводности... и т.д.

То же уравнение Навье-Стокса: ${\vec{v_t}}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=\nu\Delta\vec{v}-[\frac{1}{\rho}\nabla p-\vec{f}]$;

Если рассматривать одномерно при p и f нулевых... хотя и не знаю физического смысла... но диссипативный член справа есть... особой разницы, что второго порядка не вижу...

То бишь: ${y_t} + {x_t}{y_x} = \nu y_x_x$; (однако, формально ${x_t} = y$)

Или как бы проще, неразрывности (непрерывности):
${\rho_t}+\operatorname{div}\rho \mathbf{v}={\rho_t}+\rho \operatorname{div}\,\mathbf{v}+\mathbf{v}\operatorname{grad}\rho =0$

${y_t} + {x_t}{y_x} = - {v_x} y$; (чёт аналогии не получилось... хотя формально ${v} = {x_t}$ => ${v_x} = {x_t_x} = 0$... отвык...)

Но, как-то у нас было... субстанциональная производная, конвекционная... давно было... тяжко вспоминать... вникать... в смысле, есть ли адекватная аналогия...

2. Однако, одномерные рассмотрения пространственных уравнений все же намеренные упрощения...

Тут же иное изначально?
Речь об уравнении Блека-Шоулза... выводится оно изначально для конструирования фунции страхования (опцион), которое функция только времени и цены* базового актива (и случайного процесса), где цена базового актива суть функция только времени (и случайного процесса)...
Через процесс Ито... но, в итоге случайный процесс исключается из уравнения...
И в уравнении получается "переменные" только время и цена...

Попытался сравнить с выводом одномерного уравнения теплопроводности (например, так: http://new.math.msu.su/department/probab/urmatfiz.pdf), чтобы понять, почему понадобился процесс Ито...
Отсюда и получил это самое уравнение (1)...

3. Цель всего этого, понять, как можно менять распределение базового актива... В смысле, расписать уравнение БШ под любое распределение...

4. Есть же термин квазилинейные уравнение, но это не то... но, может есть какие псевдо-обыкновенные уравнения? =))
___
* В принципе-то, базовых активов может быть несколько, вроде бы не принципиально, по классическому выводу...

-- Ср июн 29, 2016 00:23:18 --

DeBill в сообщении #1134454 писал(а):

Вот и получилось то самое ВРОДЕ...

$\int \frac{d y(x(t),t)}{dt} dt = y = \frac{\sigma^2}{2} \int x(t)y_x(x(t),t)dt + C$ ???

Но $y_x$ - частная же... ну, будет не дифференциальное, а интегральное уравнение...

И, прежде всего, мне интересно, есть ли общий подход... (или ошибка в постановке)
Не верится, что по прошествии веков после Эйлера тема не освещена... =))
А конкретно для этого (1) уравнения решение наверное найдется, только это не принципиально, оно как пример, чтобы задать вопрос...

Что-нибудь, типа как в уравнении Бюргерса подобрать замену... но оно как раз УРЧП...

$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

[DeBill]

H14sk в сообщении #1134507 писал(а):

$\int \frac{d y(x(t),t)}{dt} dt = y = \frac{\sigma^2}{2} \int x(t)y_x(x(t),t)dt + C$ ???

Ну да. Только здесь $y$ - это значение ф-ции $y$ при $x=x(t)$, а $y_x(t,x(t))$ - предполагалась заданной (произвольно). Получили: при каждом фиксированном $t$, в точке $x=x(t)$ (одной!) нашли значение функции $y$ (как функции от $x$) по значению $y_x$ (выбранному, опять же, произвольно) в этой же точке...Слишком до хрена много решений.

[H14sk]

В общем, получилось, имхо, довольно интересно...

Мне не удалось найти теорию «УРЧП с зависимыми переменными», вероятно, нужно обозвать как недоопределенная система ОДУ, по аналогии, скажем, с уравнением Монжа (не Монжа-Ампера)…
По поводу классификации вопрос открытый, какие будут предложения?

Вопросов еще много, но кое-что можно зафиксировать, может кому пригодится...

Например, для уравнения $\frac{d}{{dt}}V(t,\lambda (t)) = {V_t} + {\lambda _t}{V_\lambda } = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{\lambda \lambda }}$
Или $\frac{d}{{dt}}V(t,\lambda (t)) = {V_t} + {\lambda _t}{V_\lambda } = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{\lambda \lambda \lambda }}$
Или производной большего порядка... по лямбда... и их сумм... Если справа нет ${V_t}$ и ${V_\lambda }$

Можно сделать так, сначала отбросить все слагаемые с ${V_\lambda }$, как будто их не было,
Например, так: ${V_t} = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{\lambda \lambda }}$
решить такое уравнение как обычное УРЧП
Чтобы не путаться с обозначения лучше держать в уме, что: ${\lambda _t}$ произвольная неизвестная f(t) или известная функция от t, но, не подставляя $\lambda $ в производных.

После нахождения решения просто сдвинуть в решении $\lambda $ на первообразную функции f(!t): F(!t).
Знак "!" пишу для уточнения, что способ касается только выражения f(t) зависящего только от переменной t, если там в выражении еще лямда, то до уверенности не знаю... =((

Пример:
${V_t} = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{\lambda \lambda }}$. Решение: $V = {e^{rt}}\frac{{\exp \{ \frac{{{{(\lambda - const)}^2}}}{{4\frac{{{\sigma ^2}}}{2}t}}\} }}{{\sqrt {4\pi \frac{{{\sigma ^2}}}{2}t} }}$

${V_t} + {\lambda _t}{V_\lambda } = rV - \frac{{{\sigma ^2}}}{2}{V_{\lambda \lambda }}$. Решение: $V = {e^{rt}}\frac{{\exp \{ \frac{{{{(\lambda - F(t))}^2}}}{{4\frac{{{\sigma ^2}}}{2}t}}\} }}{{\sqrt {4\pi \frac{{{\sigma ^2}}}{2}t} }}$

Реальный пример в топике "Феноменологический вывод уравнения Блэка – Шоулза" topic122073.html

Жду критики...