Длина дуги кривой

[ExtreMaLLlka]

Кривая задана параметрическими уравнениями $y=a\sin^{5}t, x=a\cos^{5}t, t\in(0;2\pi)$
Решаю по формуле: $L=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{(y')^2+(x')^2}dt$
$x'=-5a\cos^{4}t\cdot\sin t$
$y'=5a\sin^{4}t \cdot\cos t$
$L=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{25a^2\sin^8t \cos^2t+25a^2\cos^8t \sin^2t}dt=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{25a^2\sin^2t \cos^2t(\cos^6t + \sin^6t)}dt=5a\int\limits_{0}^{2\pi}\sin t \cos t \sqrt{\sin^6t+\cos^6t}$
Если использовать формулу,
$\sin^6t+\cos^6t=1-3\sin^2t+3\sin^4t$, то используя замену $u=\sin^2t$
получим,
$L=\frac{5a}{2}\int\limits_{}^{}\sqrt{1-3u-u^2}du$, который обычными методами тоже не решается.

[Lia]

Что-то не видно, как Вы пробовали. И из-под корня криво выносите все, чему равен этот интеграл, устно ясно.
Откорректируйте и приведите попытки решения.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 28.06.2016, 16:02 --

$\sqrt{(-1)^2}=-1$. Да?

[ExtreMaLLlka]

$\sqrt{(-1)^2}=1$
$(\sqrt{(-1)})^2=-1$
я б так решала.
только чем оно мне тут поможет)

[Lia]

ExtreMaLLlka в сообщении #1134377 писал(а):

я б так решала.

Вы два способа привели. Так или эдак? Или и так и эдак?

-- 28.06.2016, 16:16 --

Если не знать, как выносить из-под корня, то будет трудно выносить правильно. А Вы выносите. Как-то.

[ExtreMaLLlka]

просто я не понимаю, чем вынос из под корня мне поможет решить интеграл.

[Lia]

ExtreMaLLlka в сообщении #1134369 писал(а):

$\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{25a^2\sin^2t \cos^2t(\cos^6t + \sin^6t)}dt=5a\int\limits_{0}^{2\pi}\sin t \cos t \sqrt{\sin^6t+\cos^6t}$

Это равенство Вами написано? Это равенство что означает? как называется действие, в результате которого произведения синуса и косинуса оказывается за корнем? Что должно было оказаться?

(Оффтоп)

Не беритесь за такие работы, если не умеете их решать.

[SomePupil]

ExtreMaLLlka, Поглядите на выражение, которое Вы получили. Теперь вспомните, что Вы интегрировали по окружности и представьте, что Вы интегрируете сперва по одному полуокружию, потом $-$ по другому. Что получается, согласно Вашему выводу? А что должно быть?

В чём Вы ошиблись?

(Оффтоп)

Такие "устные" интегралы в НМУ дают в качестве warmup. Повторю: в НМУ! На всякий случай, повторю третий раз: в НМУ!!!

[Lia]

SomePupil
Ну еще Вы, в самом деле. Тот интеграл, который получился - устный. Значение у него - ноль. Это очевидно, когда представляешь себе более-менее, что интегрируешь и где.
Повторяю - тот, который получился.
И это не окружность.
НМУ не надо вспоминать.

[ExtreMaLLlka]

$\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{25a^2\sin^2t \cos^2t(\cos^6t + \sin^6t)}dt=5a\int\limits_{0}^{2\pi}\left\lvert\sin t \cos t \right\rvert\sqrt{\sin^6t+\cos^6t}$
Тогда не будет ноль.

[Lia]

Отлично, допишите уже $dt$ и считайте. Что с Вас и требовалось с самого начала.
Даже если у Вас все приводится (в результате какой-то там замены, хотя, имхо, это не лучший вариант) к тому интегралу, который Вы указали в стартовом посте - пределы писать у этого интеграла надо, и ничего несчитабельного в нем нет. По частям.
Но я не проверяла, в точности ли это там получится, это на Вашей совести.

Как избавляться от модуля - думаю, Вы в курсе.

[ExtreMaLLlka]

Спасибо, разобралась.