Связь между дифференциальными формами и теорией меры

[cplx]

В анализе понятие интеграла вводится в контексте общей теории меры и, независимо, на языке дифференциальных форм. Глядя издалека, трудно уловить связь между этими подходами, тем более, что она, как правило, нигде специально не подчеркивается. В этой связи возникает вопрос: как эти две конструкции соотносятся друг с другом? Не помешает также ссылка на литературу, где обе точки зрения обсуждаются явно.

[g______d]

Федерер, "Геометрическая теория меры"

[Munin]

Теория меры и дифформы соотносятся примерно как общая и алгебраическая топологии.

То есть, теория меры занимается аксиоматическим и углублённым построением того, "что мы и так знаем". То есть, венцом усилий становится теория того, как интегрировать по отрезку $\mathbb{R}.$ Конечно, попутно появляются многочисленные "ответвления в стороны", но для тех, кто скорей стремится в $\mathbb{R}^n,$ это мало интересно.

А потом мы просто замечаем, что можем задать "весовую функцию" на $\mathbb{R},$ и интегрировать с ней, как будто она - мера. И эта "весовая функция" может быть не просто функцией, а иметь в себе всякие замысловатости типа $\delta,\delta',$ и так далее.

И точно так же, "весовую функцию" можно задать и в $\mathbb{R}^n,$ и на поверхности в $\mathbb{R}^n,$ то есть по сути, на многообразии. И вот это как раз то, что делают дифформы. Там ещё знак добавляется, чтобы учитывать ориентацию, но это совсем мелочи.

[cplx]

Спасибо за развернутый ответ. Но ведь общая теория меры, хотя и стартует с отрезков действительной оси, без труда переносится на $\mathbb{R}^n$ и даже обобщается на совершенно абстрактные множества. Характерный пример - теория вероятностей, где на природу случайных событий не накладывается никаких принципиальных ограничений. Разве не это становится венцом теории меры? И разве общая теория меры не должна приводить к общей теории интеграла, справедливой для любых ситуаций, в том числе для гладких многообразий?

Вопрос, соответственно, в следующем: если мы будем строить теорию интегрирования на многообразиях, следуя по пути общей теории меры, получим ли мы что-то новое или мы придем к тем же результатам, которые дают дифференциальные формы?

Этот вопрос мотивирован тем, что интегралы дифференциальных форм представляются довольно "хрупкими" конструкциями: они вводятся только для "хороших" в определенном смысле весовых функций и на довольно ограниченном наборе областей, принадлежащих многообразию (сингулярных кубах и цепях).

[Munin]

cplx в сообщении #1134227 писал(а):

Разве не это становится венцом теории меры?

Смотря в какую сторону отсчитывать "венец" :-)
Да, в каком-то смысле - становится венцом.

А в каком-то другом смысле - это всё не нужно во многих частных случаях, интересных как приложениям, так и другим областям математики. Например, дифференциальной геометрии - это всё не нужно. Там рассматриваются такие пространства, которые локально устроены как $\mathbb{R}^n,$ и этого за глаза достаточно. Сложности там идут в других направлениях.

cplx в сообщении #1134227 писал(а):

Вопрос, соответственно, в следующем: если мы будем строить теорию интегрирования на многообразиях, следуя по пути общей теории меры, получим ли мы что-то новое или мы придем к тем же результатам, которые дают дифференциальные формы?

По сути, к тем же.

Может быть, я неправ, но скорее в смысле "не совсем прав". Может понавылезать какая-нибудь экзотика. Но роли большой она играть не будет.

Экзотика, наверное, в том же смысле, в котором пространство обобщённых функций богаче функций, "собранных" из дельт и их производных.

----------------

Мне нравится вот это вот замечание:

http://owl-sowa.blogspot.ru/2016/01/self-revealing-truths.html писал(а):

In applications usually one can ignore special cases, or even the cases perceived as anomalous. This is something that mathematicians do not allow to themselves.

Точно так же, как приложениям не интересны особые случаи, они неинтересны и многим областям математики, "выросшим" изначально на потребу приложениям. Но при этом математики, занимающиеся обоснованиями, как раз в основном озабочены этими особыми случаями, они - их главный предмет интереса (без них доказательства не склеиваются).

То есть, математики занимают двойственные позиции: одни - "поставщики" некоторой теории - занимаются особыми случаями, а другие - "потребители" - отмахиваются от них. И прикладники - тоже отмахиваются. (И я тоже.)

----------------

И возвращаясь к теме, соответственно, "венцом" теории одни и другие математики могут считать разные вещи.

[cplx]

Спасибо, Munin, идея понятна :)

-- 27.06.2016, 20:26 --

На счет упомянутой книги Федерера. Книга, по-видимому, очень хорошая, но начинать ее изучение имеет смысл уже после того, как будет достигнуто отчетливое понимание поднятых в теме вопросов. Возможно, более подходящей для начинающих будет Jean-Marie Morvan: Generalized Curvatures.

[Red_Herring]

В основе всё-таки теория меры. Потому что интегрирование форм всё равно сводится к интегралу по области евклидова пространства… и хорошо, если получается функция, интегрируемая по Риману; тогда мы можем стыдливо промолчать про меру. А если мы изучаем $L^2$ на многообразии?

[Munin]

(Оффтоп)

Я почему-то по памяти перепутал Федерера с
Уитни. Геометрическая теория интегрирования.

-- 27.06.2016 21:31:32 --

Red_Herring в сообщении #1134254 писал(а):

и хорошо, если получается функция, интегрируемая по Риману

А если получается вообще не функция? А, впрочем, вы это и сказали, просто слишком сложными для меня словами...

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1134256 писал(а):

А если получается вообще не функция? А, впрочем, вы это и сказали, просто слишком сложными для меня словами...

Ну вообще-то обобщенные функции на многообразиях вещь известная. Или обобщенные формы.

[svv]

Интересно было бы взглянуть на теорему Стокса в терминах теории меры.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1134258 писал(а):

Ну вообще-то обобщенные функции на многообразиях вещь известная. Или обобщенные формы.

Для меня всё это охватывается словом "коцепи" :-)

[Red_Herring]

svv в сообщении #1134262 писал(а):

Интересно было бы взглянуть на теорему Стокса в терминах теории меры.

Откройте любой достаточно старый учебник. Но вообще-то спор чисто схоластический: знать надо и то, и другое определение

[cplx]

Red_Herring в сообщении #1134254 писал(а):

А если мы изучаем $L^2$ на многообразии?

Именно эта ситуация подразумевалась изначально, но разговор с Munin частично снял этот вопрос.

Некоторые сведения можно почерпнуть из курса М.Вербицкого, но по понятным причинам этот листок с задачами не заменяет полноценного учебника, в котором последовательно вводились и пояснялись бы соответствующие понятия.