Факториал из степеней пятёрки

[Ktina]

(Очень красивая задача, приснившаяся мне пару часов тому назад. Сгодится для школьной олимпиады.)

Какое наименьшее количество степеней пятёрки с натуральными показателями нужно сложить, чтобы получить факториал натурального числа?

[Shadow]

$5^k \equiv 1,5 \pmod{24}$
Так что минимум восемь.

[Ktina]

Shadow

(Оффтоп)

Разумеется.
Более развёрнуто:

Если из степеней пятёрки сложить факториал, он будет делиться на 5, а значит и на 4, да и на 3 тоже.
Но так как степень пятёрки даёт остаток 1 при делении на 4, число слагаемых должно быть кратно 4.
Если слагаемых ровно 4, то ровно два из них должны давать остаток 2 при делении на 3, иначе сумма не будет делиться на 3.
Но тогда сумма этих 4 слагаемых будет давать остаток 4 при делении на 8, а это нам не годится.

Пример для 8 слагаемых:
$4\cdot 25+4\cdot 5=120=5!$

[whitefox]

Ответ зависит от того, считается ли ноль натуральным числом.

[Ktina]

whitefox в сообщении #1133886 писал(а):

Ответ зависит от того, считается ли ноль натуральным числом.

(Оффтоп)

Когда Вы считаете пальцы на руке, у Вас первый палец - нулевой?

[whitefox]

А чему равна мощность пустого множества?

Да и при счёте, довольно часто его начинают с нуля. В языке программирования С/С++ именно так и поступают.

Впрочем, я ведь не говорю о том какое определение натурального числа правильное, а лишь о том, что оно неоднозначно.