Вывод, основанный на преобразовании координат — «чтобы было».
Я хочу получить формулу

Исходим из того, что

(тильдой помечаем декартовы координаты, компоненты и т.д.). Перейдём к некоторой другой системе координат

:

Сравнивая это с

, видим, что достаточно доказать

Пусть

— матрица перехода от базиса

к базису

в некоторой точке, тогда её элементы

, а элементы обратной матрицы

. Тогда матрица

, откуда

. В этих обозначениях

перепишется в виде

Но это равенство следует из формулы для производной определителя (которая сама несложно выводится).
Итак, «декартовость» системы

потребовалась лишь в том, что

.