Непрерывная зависимость периода решений от начальных условий

[SurovM]

Здравствуйте. Есть дифференциальное уравнение вида

$$\dot{x}=f(x),\quad x\in\mathbb{R}^n$$

Для него существует оператор сдвига по траектории:

$$g_{t_{0}}^{t}\left(x_{0}\right)=x_{0}+\int_{t_{0}}^{t}f\left(g_{t_{0}}^{s}\left(x_{0}\right)\right)ds$$

Допустим, решение, выходящее из точки $x_0$ является периодическим с периодом $T\in\mathbb{R}^{+}$ и в его окрестности существует непрерывное множество периодических решений:

$$g_{t_{0}}^{T\left(\chi\right)}\left(\chi\right)=\chi\quad\forall\left\Vert \chi-x_{0}\right\Vert <d\in\mathbb{R}^{+} $$

где $T\left(\chi\right)$ -- период соответствующего решения.

Вопрос: при каких условиях функция $T\left(\chi\right)$ будет локально липшицевой:

$$\exists K\in\mathbb{R}^{+}:\quad\left\Vert T\left(x\right)-T\left(y\right)\right\Vert \leq K\cdot\left\Vert x-y\right\Vert $$

?

Вроде бы должно быть достаточно липшицевости функции $f(x)$ и отсутствия положений равновесия в окрестности траектории $g_{t_0}^t(x_0)$. Подобная теорема есть в книге Андронова -- Качественная теория динамических систем второго порядка. Мне интересно, будет ли она работать для систем произвольного порядка.

Вообще, есть теорема о непрерывной зависимости решений ДУ от начальных условий, она кажется близкой по смыслу..

[Red_Herring]

Вот допустим есть периодическая траектория на которой поле не обращается в 0. Проведем в окрестности к-л точки эой траектории поверхность $S$ трансверсальную к ней. Тогда обозначим за $\tau(x)$, $x \in S$ время когда траектория вышедшая из $x$ вернется на $S$. Ясно, что $\tau(x)$ "хорошая" функция.

Но радоваться рано! Дело в том что хотя $T(x)/\tau(x)$ целое, оно может зависеть от $x$ и есть примеры когда это число неограниченно. Если же потребовать чтобы $T(x)$ было ограниченным, то тогда можно найти хорошую $T(x)$ т.ч. оно будет периодом. Это будет, например, для аналитических систем.

При этом может оказаться, что будут субпериодические точки: в них минимальный период будет $T(x)/2, T(x)/3, ….$

Размерность 2 не характерна: там каждая траектория идет между двумя соседними (а уже в размерности 3 … )