Классическое преобразование Фурье.

[AD]

Существуют непрерывные функции $f$, стремящиеся к нулю на $\pm\infty$, но не являющиеся преобразованиями Фурье никакой функции $g\in L_1(\mathbb{R})$

Утверждение много где заявляется, но все время без доказательства. Наверное, оно очень простое, да? Хочу указание какое-нибудь. Только не надо привлекать глубокую теорию преобразования Фурье - это вряд ли требуется; должно быть достаточно лишь простейших свойств.

Ясно, что, благодаря теореме Банаха об обратном операторе, достаточно лишь доказать, что обратное отображение не будет ограниченным оператором. Но че-то я попробовал брать разные семейства функций $f_n$ и смотреть, как меняются нормы $\|f_n\|_1$ и $\|\widehat{f}_n\|_\infty$ - все время получалось что-то одного порядка. Я просто плохо искал? То есть достаточно ли взять табличку преобразований фурье некоторых элементарных функций, чтобы найти нужный пример?

[Echo-Off]

А может, взять какую-нибудь $f$ не из $L_2(\mathbb{R})$ и $L_1(\mathbb{R})$?

[AD]

В смысле взять очень плохую функцию, у которой будет такое же хорошее преобразование Фурье? Че-то я подходящей все равно не знаю.

[Gafield]

Математика дает

$$F\left[\frac{\sin x^2}x\right](t)=i \sqrt{\frac{\pi }{2}} C\left(\frac{t}{\sqrt{2 \pi }}\right)-i \sqrt{\frac{\pi }{2}} S\left(\frac{t}{\sqrt{2 \pi }}\right)=\frac{i \left(\cos \left(\frac{t^2}{4}\right)+\sin \left(\frac{t^2}{4}\right)\right)}{t}+O(t^{-2}),\quad t\to\infty, $$

где $C(x)=\int _{0}^{x}\!\cos \left( 1/2\,\pi \,{t}^{2} \right) {dt}$ и $S(x)=\int _{0}^{x}\!\sin \left( 1/2\,\pi \,{t}^{2} \right) {dt}$ - функции Френеля. Так что $F\left[\frac{\sin x^2}x\right]$ не принадлежит $L_1(\mathbb R)$.

[AD]

Да, долго я не признавался, но, видимо, придется

Это учебная задача.

То есть должно быть решение, которое можно найти на паре. Вроде бы подсказывали, что можно обойтись без конкретного примера.

Поигрался с маплом тоже, но не густо. Закономерность удивительно сохранючая.

Добавлено спустя 1 минуту:

То есть тогда надо научиться считать вот это преобразование Фурье и понимать вот эту асимптотику.

Добавлено спустя 15 минут 34 секунды:

А что если попробовать добиться, чтобы $\|e^{iz\alpha}\hat f(z)\|_\infty\to0$ для какой-нибудь функции $\hat f\in C_0(\mathbb{R})$ при стремлении $\alpha$ куда-нибудь? Возможно такое? Это будет преобразованием Фурье от сдвинутой функции $f(x+\alpha)$, и у нее $L_1$-норма меняться при сдвиге не будет. То есть мы докажем, что обратный оператор неограничен.

Добавлено спустя 1 минуту 42 секунды:

Мда, какая глупость. Умножение на $e^{iz\alpha}$ не изменит норму в $C_0(\mathbb{R})$.

[RIP]

Кстати, пример 26 главы 6 книги
Гелбаум Б., Олмстед Дж. — Контрпримеры в анализе
называется

Цитата:

Бесконечно дифференцируемая функция $f(x)$, не являющаяся преобразованием Фурье никакой функции, интегрируемой по Лебегу, и такая, что $\lim\limits_{|x|\to+\infty}f(x)=0$

Возможно, поможет.

[Gafield]

AD писал(а):

Ясно, что, благодаря теореме Банаха об обратном операторе, достаточно лишь доказать, что обратное отображение не будет ограниченным оператором.

Ну, если задача на это, то в качестве пространства надо было взять не $L_\infty$, а что-нибудь (из непр. ф.) с нормой, учитывающей убывание на функций бесконечности. Подойдет $\|f\|=\sup_{\mathbb R} (1+|x|)|f(x)|$. Семейство функций $f_t(x)=t^{-1/2}e^{-x^2/(2t)}$ имеет одну и ту же норму в $L_1(\mathbb R)$ для всех $t>0$. Преобразование Фурье от них равно $g_t(y)=C e^{-y^2t/2}$. Функция $g_t\to C$ поточечно при $t\to+0$, а норма $\|g_t\|\to\infty$.

[AD]

Gafield, то есть Вы доказали, что преобразование фурье не будет иметь ограниченного обратного даже на более узком пространстве-образе? Похоже. Ну надо еще понять, что пространство полное, но это уж я сам соображу как-нибудь. Спасибо!

Добавлено спустя 28 минут 44 секунды:

Нет, что-то здесь не так. То есть мы получили, что само преобразование Фурье не будет ограниченным оператором. А нам нужно это про обратное преобразование Фурье. То есть нужно, чтобы нормы преобразований стремились к нулю, а не к бесконечности.

Добавлено спустя 8 минут 42 секунды:

Рассуждение в "контрпримерах в анализе" убеждает.