$sigma(n)=2n-1$

[Руст]

Докажите, что решениями уравнения:
$\sigma(n)=2n-1$
являются только числа $n=2^k$.

[maxal]

Батенька, это открытая проблема (понятно, в какую сторону).

Числа $n$ с $\sigma(n)=2n-1$ называются почти-совершенными. Единственными известными примерами таких чисел являются степени 2-ки. Если у вас есть доказательство того, что других нет - срочно публикуйте.

http://mathworld.wolfram.com/AlmostPerfectNumber.html

[Руст]

Тем не менее эта задача возникает время от времени. Например последняя задача в Prime-Puzzles and Problems. До этого ещё мне обратился один с вопросом как решить эту проблему. Я сходу не мог решить и думал, может кто-нибудь поумнее меня найдет решение, не зная, как и я, что она открытая проблема.

[maxal]

Я и сам люблю подсовывать открытые проблемы в виде задач, но у меня открытые скорее в виду малоизученности, нежели чрезмерной сложности. Эта же задача очень известная, и её сложность может быть вполне сопоставима с вопросом существования нечетного совершенного числа.

[Руст]

Вообще то я кое что послал этому товарищу. Что решение представляется в виде $n=2^km^2$, где $m$ нечётное число. Если m не равно 1, то имеет по крайней мере два различных простых делителя. Но дальше уточнять (не менее 3 или 4 различных простых делителя) не стал, думаю это можно сделать. Хотя уже с 3 начинается довольно кропотливая работа.