Наблюдаемость нелинейной системы. Фильтр Калмана.

[Лесной Дух]

Всем привет. Имеется такая задачка.

Неподвижная точка О является началом координат. Точка P(x,y) подвижна, y = const, т.е. точка Р может двигаться параллельно оси Ох.
В точке Р расположена фотокамера, центр оси которой направлен под углом а к оси Ох
Состояние системы описано так:
$ \[ \left\{ \begin{array}{l} X_{k + 1} = X_k + V_k \\ V_{k + 1} = V_k + u_1_k \\ a_{k + 1} = a_k + u_2_k \\ \end{array} \right. \]$
Где X - координата точки Р, V - её скорость вдоль оси Ох, а - угол направления оси камеры.
$\[ u_{1k} ,u_{2k} \] $ - управления.

Для измерения доступен тангенс угла визирования точки О (угол $\[ \beta \]$ на рисунке), т.е.:

\[ z_k = \frac{{X_k \sin a_k - y\cos a_k }}{{X_k \cos a_k + y\sin a_k }} \]

Вопрос: можно ли по этому измерению оценивать вектор состояний? По одному измерению очевидно нельзя, но может в динамике...

Сделал Расширенный фильтр Калмана (линеаризую измерение на каждой итерации), но он что-то не работает, ошибка растёт. Искать ошибки в коде фильтра - глаза разбегаются. Вот и подумал, может невозможно это решить. Если невозможно, то как можно модифицировать систему, чтобы стало возможно? К примеру, ускорения добавить...

[dsge]

Лесной Дух в сообщении #1131882 писал(а):

можно ли по этому измерению оценивать вектор состояний

С одним измерением - это не система состояния. Измерений должно быть столько же сколько значений у индекса $k$, и подозреваю, что $u_1$ и $u_2$ должны быть с этим индексом. Да и динамика системы нестационарна - случайное блуждание - дисперсии должны расти.

[Лесной Дух]

Цитата:

С одним измерением - это не система состояния. Измерений должно быть столько же сколько значений у индекса $k$

мне казалось, что k - это как бы дискретное время. Индексы под $\[ u \] $ поправил

[dsge]

В уравнение измерения должны входить переменные состояния. У вас не понятно что, или $x=X_k$, $\alpha=a_k$, $y=V_k$?

[Лесной Дух]

Цитата:

Да и динамика системы нестационарна - случайное блуждание - дисперсии должны расти.

тут не совсем понял, по моему представлению, это должно работать так: получили измерение, оценили состояние, сгенерировали управление, получили измерение,.... и тд

-- Чт июн 16, 2016 00:06:01 --

Цитата:

или $x=X_k$, $\alpha=a_k$, $y=V_k$?

поправил в первом посте, скорость в формулу измерения не входит, у = const

[dsge]

Лесной Дух в сообщении #1131899 писал(а):

тут не совсем понял, по моему представлению, это должно работать так: получили измерение, оценили состояние,

Оценить также надо матрицу ковариации, $X_k$ и $a_k$ - случайные блуждания, значит их дисперсия растет пропорционально времени. Или $u$ у вас это управление, а не шум? Тогда, как строится управление?

[Лесной Дух]

dsge в сообщении #1131900 писал(а):

Лесной Дух в сообщении #1131899 писал(а):

тут не совсем понял, по моему представлению, это должно работать так: получили измерение, оценили состояние,

Оценить также надо матрицу ковариации, $X_k$ и $a_k$ - случайные блуждания, значит их дисперсия растет пропорционально времени.

Матрицу ковариации - ага, тоже надо оценить, в фильтре оценивается. а как сделать, чтобы не росла дисперсия?

-- Чт июн 16, 2016 00:23:25 --

Вот если из наивных соображений мыслить, вроде как в динамике можно оценить, насколько быстро передвигается точка О в поле зрения - это даст дальность до неё, а потом соответственно и всё остальное. Как это в рамках теории фильтрации облачить в более формальный вид?

[dsge]

Лесной Дух в сообщении #1131901 писал(а):

а как сделать, чтобы не росла дисперсия?

Если бы перед $X_k$ и $a_k$ в уравнениях состояния стояли коэффициенты меньше единицы по модулю, тогда точно дисперсия бы не росла. Или управление сделать таким, чтобы получить такие коэффициенты перед переменными состояния.

[Лесной Дух]

Цитата:

Если бы перед $X_k$ и $a_k$ в уравнениях состояния стояли коэффициенты меньше единицы по модулю

ну это ж получается, что Х постепенно к нулю приедет, странно как-то. А управление на ходу генерировать разве нельзя? т.е. получил измерение и тут же по ситуации создал управление, которое на следующий шаг пойдёт

[dsge]

Лесной Дух в сообщении #1131907 писал(а):

А управление на ходу генерировать разве нельзя?

Можно, но чтобы в итоге система состояний оказалась устойчивой. А шумов у вас вообще нет? Тогда зачем нужен фильтр Калмана?

[Лесной Дух]

Шумы планируются конечно же.. Да, предполагается, что управление не будет будет уводить систему куда-то далеко. Спасибо. Жаль, пока мне только понятно, что ничего не понятно. Вот ещё раз:

Цитата:

если из наивных соображений мыслить, вроде как в динамике можно оценить, насколько быстро передвигается точка О в поле зрения - это даст дальность до неё, а потом соответственно и всё остальное вычислится. Как это в рамках теории фильтрации облачить в более формальный вид?

Хм, подумалось, а что если мерять ещё скорость изменения Z ?