Задача на предел

[oxid]

Привет!
Пример -
$\lim { {1^2+2^2+...+n^2} \over {n^3}}$

Почему нельзя рассуждать так -
$\lim { {1^2+2^2+...+n^2} \over {n^3}}=\lim ({ 1/n^3+2/ n^3+...+n^2/n^3 } )= \lim{1\over n}=0 $

Пределы при $n\to\inf$, не знаю как формулу такую сделать.

[mihaild]

oxid в сообщении #1130931 писал(а):

$\lim ({ 1/n^3+2/ n^3+...+n^2/n^3 } )= \lim{1\over n}$

Вот этот переход откуда взялся?
(и вы кажется квадрат над единицей и двойкой потеряли)

[Aritaborian]

oxid в сообщении #1130931 писал(а):

Пределы при $n\to\inf$, не знаю как формулу такую сделать.

\lim \limits _{x \to \infty} f(x): $\lim \limits _{x \to \infty} f(x)$.

[iifat]

Попробуйте посчитать вашим способом $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n\frac1n$. Потом посчитайте его другим способом. Сравните результаты.

[Евгений Машеров]

Потому, что число слагаемых не постоянно, а возрастает вместе с n.

[Mikhail_K]

oxid в сообщении #1130931 писал(а):

Почему нельзя рассуждать так -
$\lim\limits_{n\to\infty} { {1^2+2^2+...+n^2} \over {n^3}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}+\dots+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^3}= 0+\dots+0=0 $
<поправил формулы; Вы ведь это имели в виду?>

Вопрос в другом - почему Вам кажется, что можно?

Почему, например, можно написать $\lim\limits_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{n^3}+\frac{2}{n^3}\Bigr)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^3} + \lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{n^3}$?
Потому что есть такое правило: $\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\lim\limits_{n\to\infty}a_n + \lim\limits_{n\to\infty}b_n$.

А почему если слагаемых три, то тоже так можно делать? А вот почему:

$$ \lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n+c_n)= \lim\limits_{n\to\infty}\bigl((a_n+b_n)+c_n\bigr)= \lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n) + \lim\limits_{n\to\infty}c_n= \lim\limits_{n\to\infty}a_n+\lim\limits_{n\to\infty}b_n +\lim\limits_{n\to\infty}c_n. $$

То есть было применено правило выше два раза.

Понятно, что то же самое можно будет сделать, если слагаемых будет четыре, пять, и вообще любое количество, не зависящее от $n$. Но в Вашем примере количество слагаемых зависит от $n$, и так делать не получится: грубо говоря, непонятно, сколько раз нужно использовать правило нахождения предела суммы.

Расскажу подробнее про Ваш пример, на интуитивном уровне.
Вот что важно понять: в выражении $\lim\limits_{n\to\infty} { {1^2+2^2+...+n^2} \over {n^3}}$ то, что стоит под знаком предела, конечно, зависит от $n$, но само значение предела от $n$ не зависит.
Это так вообще в любых пределах: например, в пределе $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}$ выражение $\frac{1}{n}$, стоящее под знаком предела, зависит от $n$, но значение этого предела - оно равно $0$ - от $n$ не зависит. Точно так же и в Вашем пределе.
Так как выражение под знаком предела зависит от $n$, то, конечно, оно может содержать $n$ слагаемых, как у Вас.
Но дальше Вы хотите написать (ошибочно), чему равен сам предел, чему равно его значение:

$$ \lim\limits_{n\to\infty} { {1^2+2^2+...+n^2} \over {n^3}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}+\dots+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^3} $$

Значение предела, как мы разобрались, от $n$ зависеть не может. В частности, выражение для него не может содержать переменное число слагаемых. Когда Вы хотите написать, что значение предела равно $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}+\dots+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^3}$, в этой записи неясно, сколько конкретно слагаемых нужно брать. Ответ "$n$ слагаемых" не подойдёт, ведь это значение должно быть одно и то же для любых $n$.

[oxid]

А почему если в пределе стоит телескопическая сумма, то мы ее можем телескопировать, там ведь тоже "неясно, сколько конкретно слагаемых нужно брать".

Спасибо.

[alcoholist]

oxid в сообщении #1130973 писал(а):

если в пределе стоит телескопическая сумма, то мы ее можем телескопировать

объясните, пожалуйста, что это значит

[Mikhail_K]

oxid в сообщении #1130973 писал(а):

А почему если в пределе стоит телескопическая сумма, то мы ее можем телескопировать, там ведь тоже "неясно, сколько конкретно слагаемых нужно брать".

В математике можно что-то сделать, только если это можно сделать путём применения конечного числа известных нам операций. Например, известная нам операция - предел $a_n+b_n$ равен сумме предела $a_n$ с пределом $b_n$.
Выше я показал, как из этого вывести утверждение о пределе суммы из трёх слагаемых, четырёх слагаемых, вообще любого конкретного числа слагаемых. Но если количество слагаемых переменное, и потенциально сколь угодно большое, то никаким конечным рассуждением мы подобного утверждения для предела такой суммы не получим. А в математике возможны только конечные рассуждения: если где-то ставится многоточие, то это просто означает, что рассуждение всё равно конечное, просто оно понятно какое и его долго было бы выписывать.

Вот что Вам ещё нужно хорошо понять. То, что у какой-то суммы переменное количество слагаемых - само по себе не беда. $\lim\limits_{n\to\infty} { {1^2+2^2+...+n^2} \over {n^3}}$ - вполне понятное выражение. Под знаком $\lim\limits_{n\to\infty}$ может стоять что угодно, зависящее от $n$, в том числе и сумма из $n$ слагаемых. Но когда мы предел вычислим, найдём, он не будет зависеть от $n$ - поэтому никакими операциями нельзя этот предел приравнять к чему-то, способному зависеть от $n$ хотя бы в принципе. В частности, ни к чему, состоящему из переменного числа слагаемых. Вот почему запись

$$ \lim\limits_{n\to\infty} { {1^2+2^2+...+n^2} \over {n^3}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^3}+\dots+\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^3} $$

даже не ошибочна, а просто бессмысленна: выражение в правой части лишено какого-то смысла. Переменная $n$ "растворяется", пропадает при взятии пределов, и писать что количество слагаемых равно $n$ - это бессмыслица.

С телескопической же суммой всё просто. Надо найти, скажем, $\sum\limits_{k=1}^\infty\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr)$. Вначале доказываем по индукции (это просто) утверждение

$$ \forall n\in\mathbb{N},\quad \sum\limits_{k=1}^n\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr)=1-\frac{1}{n+1}. $$

Затем используем это утверждение:

$$ \sum\limits_{k=1}^\infty\Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr) =\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n \Bigl(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigr)= \lim\limits_{n\to\infty}\Bigl( 1-\frac{1}{n+1} \Bigr)=1-\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=1-0=1. $$

Заметьте, что все рассуждения здесь вполне конечные. Для проведения мат.индукции надо доказать только базу индукции и переход от произвольного шага к следующему. Никаких бесконечных рассуждений.

P.S. При использовании таких мало распространённых терминов как "телескопическая сумма", действительно, стоит пояснять, о чём именно речь.

[oxid]

Спасибо за подробнейшее обьяснение! ;)