Вероятности и операторы в квантовой механике

[something strange]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130810 писал(а):

десятки страниц учебника по КМ

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130810 писал(а):

прочтите, пожалуйста, всё в книгах самостоятельно, выполняя выкладки с ручкой и бумагой

Я и читаю. А по мере чтения у меня возникают вопросы, которые, к сожалению, иногда остаются не понятыми даже после проделывания выкладок и чтения нескольких учебников подряд. К тому же некоторые мои вопросы, как мне кажется, выходят за рамки того, что излагается в самой КМ.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1130810 писал(а):

Доказательств, что эксперимент всегда обязан выдавать предсказанное теорией, конечно же нет и быть не может.

Это уже метафизика, а мой вопрос относится к самой теории, в которой утверждается, что собственные значения оператора данной величины равны значениям, которые эта величина будет принимать в тех состояниях, которые описываются собственными волновыми функциями этого оператора. Но как обосновать это утверждение? Мне оно не очевидно.

[arseniiv]

А вы возьмите $(\psi,A\psi)$ — и если $\psi$ — собственная функция $A$, то это выражение даст соответствующее собственное значение $\lambda$, потому что оно равно $(\psi,\lambda\psi) = \lambda(\psi,\psi) = \lambda$.

[something strange]

Верно. Мы взяли волновую функцию системы в определённом состоянии (пусть она нам известна заранее). Подействовали оператором величины А на эту волновую функцию. Получили произведение этой функции на константу. Следовательно, константа является собственным значением оператора А, а волновая функция - его собственной функцией. И откуда следует, что это собственное число является значением величины А в данном состоянии? В смысле, откуда следует, что именно это значение принимает величина в этом состоянии? Наверно, всем это очевидно, но у меня какой-то тупик в этом месте...

[arseniiv]

Это как раз то, что постулируется.

[something strange]

Ну чем-то должен быть этот постулат обусловлен? Ну второй закон Ньютона - тоже постулат с точки зрения теории, но изначально он является экспериментальным результатом. А эта вещь, как я понимаю, не является обобщением экспериментальных данных. Это ведь была гипотеза, которую уже потом проверили на опыте. А есть ли известные данные о том, что привело к гипотезе?)

[arseniiv]

Ну вот смотрите. Что нам надо от наблюдаемой и её зависимости от состояния системы? Надо, чтобы среднее значение наблюдаемой была линейно относительно состояния (почему?). Надо ещё что-то и ещё, и в результате мы получаем, что наблюдаемая должна получаться применением такого-то вида линейных операторов к состоянию. Наверно, я не понимаю вопрос, подождём физиков.

[Cos(x-pi/2)]

Добавлю ещё вот какое пояснение, пользуясь обозначениями Дирака, $(\psi, A\psi)=\langle \psi | \hat A |\psi \rangle = \langle A \rangle .$ Допустим, мы исходим из этой формулы для среднего значения величины $A$ в состоянии $|\psi \rangle,$ приняв её за одно из "первичных определений" в построении теории (причём, здесь подразумевается ещё и выполнение условия нормировки вектора состояния: $\langle \psi | \psi \rangle =1).$

Тогда по такому же рецепту следует находить среднеквадратичное значение для квантовых флуктуаций величины $A,$ то есть для

$\langle (A-\langle A \rangle )^2 \rangle = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle ^2.$

Посмотрим, что получается в тех случаях, когда вектор состояния - собственный для оператора $\hat A,$ т.е. если

$\hat A \, | \psi_k \rangle = a_k \, | \psi_k \rangle \,.$

Из этого равенства следует, что:

$\hat A^2 \, | \psi_k \rangle = a_k^2 \, | \psi_k \rangle \, ,$

$\langle A \rangle = \langle \psi_k | \hat A | \psi_k \rangle =a_k \, ,$

$\langle A^2 \rangle = \langle \psi_k | \hat A^2 | \psi_k \rangle =a^2_k \, ,$

то есть:

$\langle A^2 \rangle = \langle A \rangle ^2 \, ,$

и, следовательно, среднеквадратичная флуктуация равна нулю в состоянии $| \psi_k \rangle$.

Понятно, что вообще для собственного вектора оператора $\hat A$ справедливы равенства:

$\langle A^n \rangle = \langle A \rangle ^n = a_k^n\, .$

Всё это говорит об отсутствии флуктуаций величины $A$ в данном состоянии, и позволяет нам интерпретировать $| \psi_k \rangle $ как состояние с определённым (т.е. не флуктуирующим) значением величины $A,$ а именно: $A=a_k.$

[something strange]

Cos(x-pi/2)
Вот, кажется, это именно то, что было нужно! Спасибо!

[Munin]

something strange в сообщении #1131074 писал(а):

Ну чем-то должен быть этот постулат обусловлен? Ну второй закон Ньютона - тоже постулат с точки зрения теории, но изначально он является экспериментальным результатом. А эта вещь, как я понимаю, не является обобщением экспериментальных данных.

В принципе, таким "постулатным" способом строится "матричная механика" Гейзенберга. Но это всё-таки немного занудно, и малопедагогично.

В некоторых учебниках КМ излагается, но я не знаток, чтобы выложить подборку именно с такой перспективы.

[zer0]

Munin в сообщении #1130862 писал(а):

А ещё эту диаграмму можно разрезать в произвольном месте пространственноподобной плоскостью, и получить *) картину Шрёдингера.

Может, это кто-то уже сделал и опубликовал? Современный домашний компьютер вполне может решить такую задачу. Кстати, он примерно в 200тыс раз мощней, что тот, на котором я занимался моделированием для военных.

[Munin]

zer0 в сообщении #1131176 писал(а):

Может, это кто-то уже сделал и опубликовал?

То, что написано во всех учебниках, не требует дополнительной публикации. Не лезьте.

[zer0]

Так напишите название учебника и страницу.

[Alex-Yu]

arseniiv в сообщении #1131071 писал(а):

Это как раз то, что постулируется.

Лично мне никогда не нравилась такая аксиоматика. Но можно поступить иначе, при этом операторы сами возникнут в рамках некого логического построения.

Сначала постулируем следующее, менее трудное для физического восприятия:

1. Состояния есть нормированные векторы в неком линейном пространстве (коль частицы иной раз ведут себя как волны, то для них должен быть справедлив принцип суперпозиции).

2. Для любой наблюдаемой $A$ есть такие состояния $|A_n\rangle$, что при измерении всегда получится $A_n$ и ни что иное. Состояния, соответсвующие разным $A_n$ ортогональны.

Отсюда ясно, что поскольку состояния составляют линейное пространство, то могут быть состояния с неопределенным значением $A$ (устраиваем суперпозицию состояний с разным значением $A$).

3. Вероятность получить значение $A_n$ при измерении в состоянии, явлющимся суперпозицией, равна квадрату модуля коэффициента, с которым $|A_n \rangle$ входит в суперпозицию.

Так же ясно, что состояния $|A_n\rangle$ состявляют полный базис. Просто потому, что при измерении хоть какое-то значение да получится, хоть какое бери состояние. Кроме того, так как обычно бывают физические величины, имеющие бесконечный набор получаемых в эксперименте значений, пространство состояний бесконечномерно.

Ну а теперь чисто логически можно получить операторы. Чему равно среднее значение $A$ в неком состоянии $|\psi\rangle$? Разлагаем его по базису $|A_n\rangle$:

$$ |\psi\rangle = \sum_n a_n |A_n\rangle $$

$$ a_n=\langle A_n | \psi \rangle \, , \,\,\,\,\, \qqad a^*_n =\langle \psi | A_n \rangle $$

Теперь можно обычным образом вычислить среднее:

$$ \langle A \rangle = \sum_n A_n |a_n|^2 = \sum_n a^*_nA_n a_n = \langle \psi | \left( \sum_n |A_n\rangle A_n \langle A_n | \right) |\psi\rangle $$

Замечаем, что выражение в скобках есть некий линейный оператор. Естественно его назвать оператором величины $A$.

В общем физически естественней делать все наоборот: не от операторов (априори не ясно какой физике они соответствуют) к собственным значениям, а от собственных значений (физически ясная вещь: то, что получается при измерении) к операторам.


P.S. На самом деле эту конструкцию нужно немного усложнить, т.к. спектр может быть вырожденный. Но это довольно банально. В конце-концов можно начать с такой физ величины, спектр которой невырожден (например импульс в ящике, чтобы устроить дискретность).